今天我们来看一道经典的回文数题目，给定一个整数 x ，判断它是否是回文整数。如果 x 是一个回文数，则返回 true，否则返回 false。
回文数 是指从左往右读和从右往左读都相同的整数。例如，121 是回文，而 123 不是。

示例

• 示例 1
  输入：x = 121
  输出：true
  解释：121 从左往右和从右往左都相同，因此是回文数。

• 示例 2
  输入：x = -121
  输出：false
  解释：从左向右读为 -121，从右向左读为 121-。负号出现在末尾，因此不是回文数。

• 示例 3
  输入：x = 10
  输出：false
  解释：从右向左读为 01，与原数不相同。

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思路解析

本题的核心是判断一个数字在正序和倒序上是否一致。一般地，可以想到两种解决方案：

1. 字符串法：将整数转为字符串，判断字符串是否为回文。虽然这种方法简单直观，但它占用额外空间，不是最优解。

2. 数学反转法：直接在数字层面反转整数的一半，再与另一半比较。这个方法通过操作数字本身，不使用额外空间，效率较高且实现优雅。

接下来，我们基于数学反转法优化解答。

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优化的数学反转解法

在反转整数时，不需要整个数字的倒序，只需反转其一半。在反转过程中，如果反转后的数字与剩余的部分一致，说明该数字是回文。

优化步骤

1. 负数直接排除：负数不可能是回文，因为其倒序会使负号出现在末尾。

2. 非零且尾数为零的数字也可排除：如 10 或 100。若一个数的末尾是 0，且它不是 0 本身，它就不可能是回文。

3. 反转数字的一半：

   • 每次将 x 的最后一位拼接到 reversedHalf 后面，同时将 x 缩短一位，直到 x 的长度小于或等于 reversedHalf。
   • 如果数字的长度是偶数，则反转后的 reversedHalf 与 x 应相等。
   • 如果数字的长度是奇数，则可以忽略 reversedHalf 的中间位（即 reversedHalf / 10），此时两者也应相等。

代码实现

class Solution {
public:bool isPalindrome(int x) {// 负数或非零尾数为0的数无法成为回文数if (x < 0 || (x % 10 == 0 && x != 0)) return false;int reversedHalf = 0;while (x > reversedHalf) {reversedHalf = reversedHalf * 10 + x % 10;x /= 10;}// 判断两种情况：// 1. x == reversedHalf 表示偶数长度，反转完全相同// 2. x == reversedHalf / 10 表示奇数长度，忽略中间一位return x == reversedHalf || x == reversedHalf / 10;}
};

代码详解

• x < 0 || (x % 10 == 0 && x != 0)：这是排除负数和非零尾数为零的情况，这些数不可能是回文。

• while (x > reversedHalf)：每次将 x 的最后一位加到 reversedHalf 后面，缩短 x。这个过程在 x 的长度超过 reversedHalf 的长度时停止。

• return x == reversedHalf || x == reversedHalf / 10：在循环结束后，有两种可能：

  • 若数字长度为偶数，则 x == reversedHalf。
  • 若数字长度为奇数，则 x == reversedHalf / 10（忽略中间一位，见下面的例子）。

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举例分析

以 x = 12321 为例，展示代码的运行过程：

• 初始化：x = 12321，reversedHalf = 0
• 第一轮循环：
  • reversedHalf = reversedHalf * 10 + x % 10 = 0 * 10 + 1 = 1
  • x = x / 10 = 1232
• 第二轮循环：
  • reversedHalf = 1 * 10 + 2 = 12
  • x = 123
• 第三轮循环：
  • reversedHalf = 12 * 10 + 3 = 123
  • x = 12

循环结束后，reversedHalf 是 123，x 是 12，可以看到 reversedHalf / 10 = 12，即 x == reversedHalf / 10 成立，因此 12321 是回文数。

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(log₁₀(n))，因为我们只遍历数字的一半。
• 空间复杂度：O(1)，不需要额外空间。

总结

这个方法不仅优化了空间使用，还保证了执行效率，是一种优雅的实现方案。通过这种方式，我们可以轻松判断整数是否为回文。该解法具有优秀的时间和空间复杂度，是回文数问题的最佳解法之一。