编程题 7-18 二分法求多项式单根【PAT】

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    • 输出样例
  • 题解
    • 解题思路
    • 完整代码

编程练习题目集目录

题目

  二分法求函数根的原理为:如果连续函数 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 的两个端点取值异号,即 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f(a)f(b)<0,则它在这个区间内至少存在 1 1 1 个根 r r r,即 f ( r ) = 0 f(r)=0 f(r)=0
  二分法的步骤为:

  • 检查区间长度,如果小于给定阈值,则停止,输出区间中点 ( a + b ) / 2 (a+b)/2 (a+b)/2;否则
  • 如果 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f(a)f(b)<0,则计算中点的值 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) f((a+b)/2)
  • 如果 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) f((a+b)/2) 正好为 0 0 0,则 ( a + b ) / 2 (a+b)/2 (a+b)/2 就是要求的根;否则
  • 如果 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) f((a+b)/2) f ( a ) f(a) f(a) 同号,则说明根在区间 [ ( a + b ) / 2 , b ] [(a+b)/2,b] [(a+b)/2,b],令 a = ( a + b ) / 2 a=(a+b)/2 a=(a+b)/2,重复循环;
  • 如果 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) f((a+b)/2) f ( b ) f(b) f(b) 同号,则说明根在区间 [ a , ( a + b ) / 2 ] a,(a+b)/2] a,(a+b)/2],令 b = ( a + b ) / 2 b=(a+b)/2 b=(a+b)/2,重复循环。

本题目要求编写程序,计算给定 3 3 3 阶多项式 f ( x ) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0,在给定区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内的根。

输入格式

  输入在第 1 1 1 行中顺序给出多项式的 4 4 4 个系数 a 3 、 a 2 、 a 1 、 a 0 a_3、a_2、a_1、a_0 a3a2a1a0,在第 2 2 2 行中顺序给出区间端点 a a a b b b。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

输出格式

  在一行中输出该多项式在该区间内的根,精确到小数点后 2 2 2 位。

输入样例

3 -1 -3 1
-0.5 0.5

输出样例

0.33

题解

解题思路

  先输入多项式的 4 4 4 个系数,然后输入区间 a 、 b a、b ab。然后 w h i l e while while 循环判断 a 、 b a、b ab 是否相同且异号,如果不成立则说明在该区间内没有根;如果成立则继续判断 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) f((a+b)/2) 是否等于 0 0 0,如果等于则直接输出答案;如果不等于则判断 f ( ( a + b ) / 2 ) f((a+b)/2) f((a+b)/2) f ( a ) f(a) f(a) 或者 f ( b ) f(b) f(b) 中一个同号,根据不同情况对区间进行缩小,直到算出答案或者判断出在该区间内没有根即可。

完整代码

#include <math.h>
#include<iostream>
using namespace std;double a, b, c, d;
double f(double A)								// 计算多项式的值
{return a * pow(A, 3) + b * pow(A, 2) + c * A + d;
}
int main(void)
{double A, B;cout << "请输入多项式的 4 个系数:";              // 提交时注释此行cin >> a >> b >> c >> d;cout << "请输入区间端点:";                     // 提交时注释此行cin >> A >> B;while ((B - A) > 0.0001 && f(A) * f(B) <= 0)	// 判断是否异号和相等,等于0是区间端点{if (f((A + B) / 2) == 0){cout.precision(2);cout << fixed << (A + B) / 2 << endl;return 0;}else if (f((A + B) / 2)*f(A) > 0)		// 和 f(A)同号A = (A + B) / 2;else									// 和 f(B)同号:f((A + B) / 2) * f(B) > 0B = (A + B) / 2;}cout.precision(2);                      // 控制小数点位输出cout << fixed << (A + B) / 2 << endl;return 0;
}

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