import math
from sympy import primerange#
def are_coprime(a, b):return math.gcd(a, b) == 1def find_e_and_d(fn):"""找到合适的e和d，使得e * d ≡ 1 (mod fn)"""for e in range(2, fn):if are_coprime(e, fn):d = pow(e, -1, fn) # 使用扩展欧几里得算法计算e关于fn的模逆if d is not None:return e, dreturn None, Nonedef rsa_encrypt(m, e, n):"""使用RSA算法加密消息m"""return pow(m, e, n)def rsa_decrypt(c, d, n):"""使用RSA算法解密密文c"""return pow(c, d, n)# # 寻找大于10万的质数
primes_over_100000 = list(primerange(10000, 17000))
# 定义RSA算法的参数
p, q = primes_over_100000[-2:]n = p * q
fn = (p - 1) * (q - 1)# 找到合适的e和d
e, d = find_e_and_d(fn)# 选择一个较小的明文进行加密和解密
m_small = 256256256
c_small = rsa_encrypt(m_small, e, n)
m_decrypted_small = rsa_decrypt(c_small, d, n)
print(c_small,m_decrypted_small)RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性基于大数分解的困难性。下面是对RSA算法的理论解释：
-
质数选择：
- 选择两个大的质数 p p p 和 q q q。
-
计算模数：
- 计算 n = p × q n = p \times q n=p×q， n n n 将是公钥和私钥的一部分。
-
计算欧拉函数：
- 计算 ϕ ( n ) = ( p − 1 ) × ( q − 1 ) \phi(n) = (p-1) \times (q-1) ϕ(n)=(p−1)×(q−1)，其中 ϕ \phi ϕ 是欧拉函数，用于计算小于 n n n 且与 n n n 互质的正整数的个数。
-
选择公钥指数：
- 选择一个整数 e e e，使得 1 < e < ϕ ( n ) 1 < e < \phi(n) 1<e<ϕ(n) 且 e e e 与 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n) 互质。这个 e e e 将是公钥的一部分。
-
计算私钥指数：
- 计算 e e e 关于 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n) 的模逆 d d d，即找到一个 d d d 使得 e × d ≡ 1 ( m o d ϕ ( n ) ) e \times d \equiv 1 \pmod{\phi(n)} e×d≡1(modϕ(n))。这个 d d d 将是私钥的一部分。
-
加密过程：
- 对于明文 m m m（ m < n m < n m<n），计算密文 c c c： c = m e m o d n c = m^e \mod n c=memodn。
-
解密过程：
- 对于密文 c c c，计算明文 m m m： m = c d m o d n m = c^d \mod n m=cdmodn。
代码解释：
are_coprime(a, b): 检查两个数是否互质。find_e_and_d(fn): 找到合适的 e e e 和 d d d。rsa_encrypt(m, e, n): 使用RSA算法加密消息 m m m。rsa_decrypt(c, d, n): 使用RSA算法解密密文 c c c。
运行结果：
在您的代码中，您选择了两个大质数 p p p 和 q q q，然后计算了 n n n 和 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)，接着找到了合适的 e e e 和 d d d。最后，您加密了一个小的明文 m small = 256256256 m_{\text{small}} = 256256256 msmall=256256256 并成功解密。
输出的 c_small 是加密后的密文，而 m_decrypted_small 应该与原始的 m_small 相同，验证了加密和解密过程的正确性。
在真实应用中，明文通常会通过某种方式（如填充）转换为小于 n n n 的数，并且RSA算法通常用于加密小块数据，如密钥交换，而不是直接加密大量数据。
