一. 题目

题目描述

输入输出格式

样例

样例1

样例2 & 样例解释

数据范围

二. 思路

对于前20%数据 解法

因为保证了 $x_i=1$，也就是说这些点都在 $x=1$ 这条直线上。

那么最优解必定是在 $c_i$ 最小的点上建发电站，然后把这些点之间全部联通即可。

即最终答案 $$ans=\underset{1\le i\le n}{\min }{c}_i+\underset{1\le i\le n}{\max }{y}_i-\underset{1\le i\le n}{\min }{y}_i$$

可见，我们要枚举 $1$ 到 $n$ ，所以时间复杂度为 $O(n)$ 。

对于前70%数据 解法

思路分析

因为50%的数据没有什么特殊的地方（至少作者没有想到），所以直接从70%的数据入手。

思考：$k_i=1$ ，也就是点之间的连线每条边的单位花费为 $1+1=2$ ，而 $10^8\le c_i\le 10^9$ 很大，并且在 $n\le 2000$ 的情况下，我们发现连线的花费往往小于构建发电站的花费。所以容易得出贪心策略：在 $c_i$ 最小的点建发电站，其他点都与这个点联通。

这个问题就等价于要把图上的每一个点都联通，并且花费最小。

先考虑如何联通每一个点：构建一棵树，共有 $n$ 个点和 $n-1$ 条边。

其次要让花费小：这不就是最小生成树吗？！

具体实现

我们先把 $n$ 个点之间两两连线，每条边的权值为该边的花费，构建一个完全图，然后对这张图 跑Kruskal或Prim（最小生成树） 即可。

对于100%数据 解法

发现100%的数据与70%的数据对比，$k_i$ 与 $c_i$ 的取值范围更广泛，所以不一定只有一个发电站是最优解。

那么按照70%数据的思路，我们对于每一个发电站，都会构建出一棵最小生成树，但一棵不一定涵盖所有点。即这张图变成了一个最小生成树组成的森林。

这样的话，我们没法枚举每个发电站再构建最小生成树。能不能把这些树合在一起呢？

这里，我们引入 “虚拟点思想”，也叫做 “超级零点” 。也就是新增0号（或不在范围内的）点，并把它向其他点都连一条边，边的权值为在与其相连的点构建发电站的花费。

这样，我们就可以对这个图跑最小生成树即可。因为最小生成树一定会连向虚拟点，所以至少会构建一个发电站，思路可行。

三. 代码实现

20pts 解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2055;
long long id,n,k[N],x[N],y[N],maxx,minn=1e17,ress=1e17;
long long c[N],f[N],res = 1e17,ans = 0,cnt;
struct node
{long long u,v,w;
}a[N*N*2];
int main()
{freopen("electricity.in","r",stdin);freopen("electricity.out","w",stdout);cin >> id;cin >> n;for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);}for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&c[i]);}for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&k[i]);}if (1 <= id && id <= 4){for (int i=1;i<=n;i++){maxx = max(maxx,y[i]);minn = min(minn,y[i]);ress = min(ress,c[i]);}cout<<(maxx-minn)*2+ress;return 0;}return 0;
}

70pts 解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2005;
long long id,n,k[N],x[N],y[N],maxx,minn=1e17,ress=1e17;
long long c[N],f[N],res = 1e17,ans = 1e17,cnt;
struct node
{long long u,v,w;
}a[N*N];
long long zabs(long long s)
{if (s > 0) return s;return -s;
}
long long dis(long long a,long long b)
{return zabs(x[a]-x[b])+zabs(y[a]-y[b]);
}
void add(long long h,long long b,long long c)
{a[++cnt].u = h;a[cnt].v = b;a[cnt].w = c;
}
bool cmp(node x,node y)
{return x.w < y.w;
}
long long fnd(int x)
{if (x == f[x]) return x;return f[x] = fnd(f[x]);
}
int main()
{freopen("electricity.in","r",stdin);freopen("electricity.out","w",stdout);cin >> id;cin >> n;for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);}for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&c[i]);}for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&k[i]);}ans = 1e17;for (int i=1;i<=n;i++){ans = mins(ans,c[i]);}for (int i=1;i<n;i++){for (int j=i+1;j<=n;j++){add(j,i,dis(i,j)*(k[i]+k[j]));add(i,j,dis(i,j)*(k[i]+k[j]));}}sort(a+1,a+cnt+1,cmp);long long tot = 0;for (int j=1;j<=n;j++){f[j] = j;}for (int j=1;j<=cnt;j++){long long p1 = fnd(f[a[j].u]);long long p2 = fnd(f[a[j].v]);if (f[p1] == f[p2]) continue;f[p1] = fnd(f[p2]);ans += a[j].w;tot++;if (tot+1 == n) break;}cout<<ans;return 0;
}

100pts 解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2055;
long long id,n,k[N],x[N],y[N],maxx,minn=1e17,ress=1e17;
long long c[N],f[N],res = 1e17,ans = 0,cnt;
struct node
{long long u,v,w;
}a[N*N*2];
long long zabs(long long s)
{if (s > 0) return s;return -s;
}
long long dis(long long a,long long b)
{return zabs(x[a]-x[b])+zabs(y[a]-y[b]);
}
void add(long long h,long long b,long long c)
{a[++cnt].u = h;a[cnt].v = b;a[cnt].w = c;
}
bool cmp(node x,node y)
{return x.w < y.w;
}
long long fnd(int x)
{if (x == f[x]) return x;return f[x] = fnd(f[x]);
}
int main()
{freopen("electricity.in","r",stdin);freopen("electricity.out","w",stdout);cin >> id;cin >> n;for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);}for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&c[i]);}for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&k[i]);}ans = 0;//构图for (int i=1;i<n;i++){for (int j=i+1;j<=n;j++){add(j,i,dis(i,j)*(k[i]+k[j]));add(i,j,dis(i,j)*(k[i]+k[j]));}}//虚拟点构建for (int i=1;i<=n;i++){add(n+1,i,c[i]);add(i,n+1,c[i]);}sort(a+1,a+cnt+1,cmp);long long tot = 0;for (int j=1;j<=n+1;j++){f[j] = j;}//Kruskal最小生成树for (int j=1;j<=cnt;j++){long long p1 = fnd(f[a[j].u]);long long p2 = fnd(f[a[j].v]);if (f[p1] == f[p2]) continue;f[p1] = fnd(f[p2]);ans += a[j].w;tot++;if (tot == n) break;}cout<<ans;return 0;
}

四. 总结

这道图论题在CSP-J模拟赛放了T3，感觉略难（最小生成树和虚拟点思想略有超纲），但不引进“虚拟点思想”的70分给的很足。总体来说是一道练习最小生成树和虚拟点思想的好题。