【算法竞赛】堆

堆是一种树形结构,树的根是堆顶,堆顶始终保持为所有元素的最优值。

有最大堆和最小堆,最大堆的根节点是最大值,最小堆的根节点是最小值。

本节都以最小堆为例进行讲解。

堆一般用二叉树实现,称为二叉堆。

二叉堆的典型应用有堆排序和优先队列。

二叉堆的概念

二叉堆是一棵完全二叉树。

用数组实现的二叉树堆,树中的每个节点与数组中存放的元素对应。

树的每层,除了最后一层可能不满,其他都是满的。

如图1.10所示,用数组实现一棵二叉树堆。
在这里插入图片描述
二叉堆中的每个节点,都是以它为父节点的子树的最小值。

用数组A[]存储完全二叉树,节点数量为n,A[1]为根节点,有以下性质:
(1) i > 1 i>1 i>1 的节点,其父节点位于 i / 2 i/2 i/2
(2)如果 2 i > n 2 i>n 2i>n ,那么节点i没有孩子;如果 2 i + 1 > n 2 i+1>n 2i+1>n ,那么节点i没有右孩子;
(3)如果节点i有孩子,那么它的左孩子是2i,右孩子是 2 i + 1 2 i+1 2i+1

堆的操作有进堆和出堆:
(1)进堆:每次把元素放进堆,都调整堆的形状,使根节点保持最小。
(2)出堆:每次取出的堆顶,就是整个堆的最小值;同时调整堆,使新的堆顶最小。
二叉树只有 O ( l o g 2 n ) O(log _{2} n) O(log2n) 层,进堆和出堆逐层调整,计算复杂度都为 O ( l o g 2 n ) O(log _{2} n) O(log2n)

二叉堆的操作

堆的操作有两种 :上浮和下沉。

上浮

某个节点的优先级上升,或者在堆底加人一个新元素(建堆,把新元素加入堆),此时需要从下至上恢复堆的顺序。

图1.11演示了上浮的过程。
在这里插入图片描述

下沉

某个节点的优先级下降,或者将根节点替换为一个较小的新元素(弹出堆顶,用其他元素替换它),此时需要从上至下恢复堆的顺序。
图1.12演示了下沉的过程。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
堆经常用于实现优先队列,上浮对应优先队列的插入操作push(),下沉对应优先队列的删除队头操作pop()。

二叉堆的手写代码

例1.8(洛谷P3378)
在这里插入图片描述
下面给出代码。
上浮用push()函数实现,完成插入新元素的功能,对应优先队列的入队;
下沉用pop()函数实现,完成删除堆头的功能,对应优先队列的删除队头。

#include <bits/stdc+t.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5; 
int heap[N],1en=0; //1en记录当前二叉树的长度void push(int x) {heap[++len]=x;int i=len;while (i>1 && heap[i]<heap[i / 2]) {swap(heap[i], heap[i /2]);}i=i/ 2;
}void pop() {heap[1]= heap[len--];int i=1;while(2* i<=len) {int son =2*i;if (son <len && heap[ son +1]< heap[ son]) {son++;}if (heap[ son] < heap[i]) {swap(heap[ son], heap[ i]);i=son;} else break;}
}int main() {int n;scanf ("%d", &n);while(n--) {int op;scanf("%d", &op);if (op==1) {int x;scanf("%d", &x);push(x);} else if (op==2) {printf("%d\n", heap[1]);} else {pop();}}return 0;
}

堆和priority_queue

STL的优先队列priority_queue是用堆实现的。下面给出洛谷P3378的STL代码,由于不用自己管理堆,代码很简洁。

using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
int main() {int n;scanf("%d", &n);while (n--) {int op;scanf("%d", &op);if (op == 1) {int x;scanf("%d", &x);q.push(x);} else if (op == 2) {printf("%d\n", q.top());} else {q.pop();}}return 0;
}

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