【高中数学/对数/指数】已知函数f(x)=e^x-ln(x+m),求证m＜=2时，证明f(x)＞0

【问题】

已知函数f(x)=e^x-ln(x+m),求证m<=2时，证明f(x)>0 （2013年高考全国卷II理科第21题）

【出处】

《高中数学解题思维策略》P30 例2-11  杨林军编著

【解答】

对于y=e^x,总有e^x>=x+1 (x=0时去等)

对于y=ln(x+m),总有y=x+m-1>=ln(x+m) （x+m=1时取等）

如对于y=ln(x+2)，总有x+1>=ln(x+2)

对于y=ln(x+1),总有x>ln(x+1)

所以，f(x)=e^x-ln(x+m)>(x+1)-(x+m-1)=2-m 不取等号因为切点不会是同一横坐标

故m<=2时，f(x)>0 

证毕。下面将用图线辅助思考。

下图是m取不同值时的f(x)=e^x-ln(x+m)曲线

下面是m=2时三条曲线相比的示意图：

下面是m=1时四条曲线相比的示意图：

【图一代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/// 系统常量定义处
const TITLE="图一 f(x)=e^x-ln(x+m) 图线 ";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                 // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){document.title=TITLE;// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas');    canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d');  // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate();
};//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<TIME_END){        window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){// 内置对象(非必要勿更改)var obj=new Object;// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)obj.curves=[];// 塞入曲线1(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+2)",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+2);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线2(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+1)",xEnd:3,x:-1,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+1);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线3(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+0)",xEnd:3,x:0,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+0);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线4(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x-1)",xEnd:3,x:-1,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x-1);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线5(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+3)",xEnd:3,x:-3,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+3);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 随时间更新位置(非必要勿更改)obj.update=function(t){for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];if(curve.x<curve.xEnd){curve.x+=0.01;curve.setY(curve.x);}}};// 画前景obj.paint=function(ctx){  // 手动标记点//paintPoint(ctx,1,0,"a","navy");//paintPoint(ctx,0,1,"b","navy");// 文字左上角位置(可手动修改设定值)const X_START=-230;    // 文字横起点const Y_START=150;    // 文字纵起点const OFFSET=50;    // 文字间隔// 遍历曲线数组(非必要勿更改)for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];var color=getColor(i);// 曲线名称drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);// 曲线当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);// 绘制曲线if(curve.pts0){paintCurve(ctx,color,curve.pts0);// 绘制曲线分段1的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts0);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts1){paintCurve(ctx,color,curve.pts1);// 绘制曲线分段2的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts1);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts2){paintCurve(ctx,color,curve.pts2);// 绘制曲线分段3的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts2);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts3){paintCurve(ctx,color,curve.pts3);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts4){paintCurve(ctx,color,curve.pts4);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}}};// 画背景(非必要不更改)obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);// 左上角标题var metrics = ctx.measureText(TITLE);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);// 右下角作者，日期const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);textWidth = metrics.width;drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);};return obj;
}// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){var xReal=x*SCALE_UNIT;var yReal=y*SCALE_UNIT;ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=0.5;// 划线ctx.save();ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();    ctx.moveTo(xReal,0);ctx.lineTo(xReal,yReal);ctx.lineTo(0,yReal);ctx.stroke();ctx.restore();// 画圈ctx.beginPath();ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();    ctx.stroke();// 写文字var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.save();ctx.strokeStyle = color;ctx.lineWidth=1;ctx.beginPath();     for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);}}     ctx.stroke();  ctx.restore();
}// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){if(cds.length<1){return null;}var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};for(var i=0;i<cds.length;i++){var y=cds[i].y;if(y>retval.max){retval.max=y;retval.max_x=cds[i].x;}if(y<retval.min){retval.min=y;retval.min_x=cds[i].x;}} return retval;
}// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){if(mm==null){return;}// 最大值var x=mm.max_x;var y=mm.max;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);// 最小值var x=mm.min_x;var y=mm.min;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.restore();
}// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){if(x==0){continue;}ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);}ctx.restore();
}// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){var s=scale*10;if(s % 5==0){return scale+"";}else{return scale.toFixed(2);}
}// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="lightgrey";    // 分十格var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}// 十小格间的分割线ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="grey";ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["maroon" /* 栗色 */,"orange" /* 橙色 */,"blue"   /* 蓝色 */,"green"  /* 绿色 */,       "fuchsia"/* 紫红 */,        "grey"   /* 灰色 */,"lime"   /* 酸橙 */,        "navy"   /* 海蓝 */,        "purple" /* 紫色 */,"skyblue"/* 天蓝 */,"teal"   /* 蓝绿 */,"yellow" /* 亮黄 */,"aqua"   /* 湖绿 */,"red"    /* 红色 */,        "black"  /* 黑色 */,    ];return arr[index % arr.length];
}//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}// JS开立方
function kaiLiFang(x){if(x>0){return Math.pow(x,1/3);}else{return -Math.pow(-x,1/3);}
}
//-->
/****************************************
遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
****************************************/
</script>

【图二代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/// 系统常量定义处
const TITLE="图二 f(x)=e^x-ln(x+2) 图线 ";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                 // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){document.title=TITLE;// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas');    canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d');  // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate();
};//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<TIME_END){        window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){// 内置对象(非必要勿更改)var obj=new Object;// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)obj.curves=[];// 塞入曲线1(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+2)",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+2);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线2(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线3(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=x+1",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=x+1;// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线4(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=ln(x+2)",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=Math.log(x+2);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 随时间更新位置(非必要勿更改)obj.update=function(t){for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];if(curve.x<curve.xEnd){curve.x+=0.01;curve.setY(curve.x);}}};// 画前景obj.paint=function(ctx){  // 手动标记点//paintPoint(ctx,1,0,"a","navy");//paintPoint(ctx,0,1,"b","navy");// 文字左上角位置(可手动修改设定值)const X_START=-230;    // 文字横起点const Y_START=150;    // 文字纵起点const OFFSET=50;    // 文字间隔// 遍历曲线数组(非必要勿更改)for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];var color=getColor(i);// 曲线名称drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);// 曲线当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);// 绘制曲线if(curve.pts0){paintCurve(ctx,color,curve.pts0);// 绘制曲线分段1的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts0);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts1){paintCurve(ctx,color,curve.pts1);// 绘制曲线分段2的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts1);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts2){paintCurve(ctx,color,curve.pts2);// 绘制曲线分段3的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts2);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts3){paintCurve(ctx,color,curve.pts3);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts4){paintCurve(ctx,color,curve.pts4);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}}};// 画背景(非必要不更改)obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);// 左上角标题var metrics = ctx.measureText(TITLE);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);// 右下角作者，日期const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);textWidth = metrics.width;drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);};return obj;
}// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){var xReal=x*SCALE_UNIT;var yReal=y*SCALE_UNIT;ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=0.5;// 划线ctx.save();ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();    ctx.moveTo(xReal,0);ctx.lineTo(xReal,yReal);ctx.lineTo(0,yReal);ctx.stroke();ctx.restore();// 画圈ctx.beginPath();ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();    ctx.stroke();// 写文字var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.save();ctx.strokeStyle = color;ctx.lineWidth=1;ctx.beginPath();     for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);}}     ctx.stroke();  ctx.restore();
}// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){if(cds.length<1){return null;}var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};for(var i=0;i<cds.length;i++){var y=cds[i].y;if(y>retval.max){retval.max=y;retval.max_x=cds[i].x;}if(y<retval.min){retval.min=y;retval.min_x=cds[i].x;}} return retval;
}// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){if(mm==null){return;}// 最大值var x=mm.max_x;var y=mm.max;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);// 最小值var x=mm.min_x;var y=mm.min;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.restore();
}// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){if(x==0){continue;}ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);}ctx.restore();
}// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){var s=scale*10;if(s % 5==0){return scale+"";}else{return scale.toFixed(2);}
}// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="lightgrey";    // 分十格var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}// 十小格间的分割线ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="grey";ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["maroon" /* 栗色 */,"orange" /* 橙色 */,"blue"   /* 蓝色 */,"green"  /* 绿色 */,       "fuchsia"/* 紫红 */,        "grey"   /* 灰色 */,"lime"   /* 酸橙 */,        "navy"   /* 海蓝 */,        "purple" /* 紫色 */,"skyblue"/* 天蓝 */,"teal"   /* 蓝绿 */,"yellow" /* 亮黄 */,"aqua"   /* 湖绿 */,"red"    /* 红色 */,        "black"  /* 黑色 */,    ];return arr[index % arr.length];
}//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}// JS开立方
function kaiLiFang(x){if(x>0){return Math.pow(x,1/3);}else{return -Math.pow(-x,1/3);}
}
//-->
/****************************************
遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
****************************************/
</script>

【图三代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head><title>UNASSIGNED</title><style type="text/css">.centerlize{margin:0 auto;border:0px solid red;width:1200px;height:600px;}</style></head><body οnlοad="draw();"><div class="centerlize"><canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.</canvas></div></body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/// 系统常量定义处
const TITLE="图三 f(x)=e^x-ln(x+1) 图线 ";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                 // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){document.title=TITLE;// 画图前初始化var canvas=document.getElementById('myCanvas');    canvas.width=WIDTH;canvas.height=HEIGHT; context=canvas.getContext('2d');  // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换// 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向// 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);context.rotate(Math.PI);context.scale(-1,1);// 初始化舞台stage=new Stage();// 开始动画animate();
};//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1stage.update(timeElapsed);stage.paintBg(context);stage.paint(context);if(timeElapsed<TIME_END){        window.requestAnimationFrame(animate);}
}//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){// 内置对象(非必要勿更改)var obj=new Object;// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)obj.curves=[];// 塞入曲线1(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x-ln(x+1)",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x)-Math.log(x+1);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线2(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=e^x",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=Math.pow(Math.E,x);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线3(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=x+1",xEnd:3,x:-2,y:0,setY:function(x){this.y=x+1;// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线4(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=ln(x+1)",xEnd:3,x:-1,y:0,setY:function(x){this.y=Math.log(x+1);// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 塞入曲线5(按需修改设定项)obj.curves.push({name:"曲线:f(x)=x",xEnd:3,x:-3,y:0,setY:function(x){this.y=x;// 解析式let coord={"x":x,"y":this.y};    if(x<0){this.pts0.push(coord);}else{this.pts1.push(coord);}},"pts0":[],"pts1":[],});// 随时间更新位置(非必要勿更改)obj.update=function(t){for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];if(curve.x<curve.xEnd){curve.x+=0.01;curve.setY(curve.x);}}};// 画前景obj.paint=function(ctx){  // 手动标记点//paintPoint(ctx,1,0,"a","navy");//paintPoint(ctx,0,1,"b","navy");// 文字左上角位置(可手动修改设定值)const X_START=-230;    // 文字横起点const Y_START=150;    // 文字纵起点const OFFSET=50;    // 文字间隔// 遍历曲线数组(非必要勿更改)for(var i=0;i<this.curves.length;i++){var curve=this.curves[i];var color=getColor(i);// 曲线名称drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);// 曲线当前点坐标drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);// 绘制曲线if(curve.pts0){paintCurve(ctx,color,curve.pts0);// 绘制曲线分段1的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts0);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts1){paintCurve(ctx,color,curve.pts1);// 绘制曲线分段2的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts1);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts2){paintCurve(ctx,color,curve.pts2);// 绘制曲线分段3的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts2);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts3){paintCurve(ctx,color,curve.pts3);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}if(curve.pts4){paintCurve(ctx,color,curve.pts4);// 绘制曲线分段4的高低点(可选)//var mm=findMaxMin(curve.pts3);//markMaxMin(ctx,mm,color);}}};// 画背景(非必要不更改)obj.paintBg=function(ctx){// 清屏ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);// 画X轴drawAxisX(ctx,-600,600,50);// 画Y轴drawAxisY(ctx,-300,300,50);// 画网格线drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);// 左上角标题var metrics = ctx.measureText(TITLE);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);// 右下角作者，日期const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);textWidth = metrics.width;drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);};return obj;
}// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){var xReal=x*SCALE_UNIT;var yReal=y*SCALE_UNIT;ctx.strokeStyle=color;ctx.lineWidth=0.5;// 划线ctx.save();ctx.setLineDash([5,5]);ctx.beginPath();    ctx.moveTo(xReal,0);ctx.lineTo(xReal,yReal);ctx.lineTo(0,yReal);ctx.stroke();ctx.restore();// 画圈ctx.beginPath();ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();    ctx.stroke();// 写文字var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){ctx.save();ctx.strokeStyle = color;ctx.lineWidth=1;ctx.beginPath();     for(var i=0; i<cds.length; i++){let y=cds[i].y;if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);}}     ctx.stroke();  ctx.restore();
}// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){if(cds.length<1){return null;}var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};for(var i=0;i<cds.length;i++){var y=cds[i].y;if(y>retval.max){retval.max=y;retval.max_x=cds[i].x;}if(y<retval.min){retval.min=y;retval.min_x=cds[i].x;}} return retval;
}// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){if(mm==null){return;}// 最大值var x=mm.max_x;var y=mm.max;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);// 最小值var x=mm.min_x;var y=mm.min;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);ctx.closePath();ctx.stroke();var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){ctx.save();ctx.beginPath();ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=color;ctx.fill();ctx.restore();
}// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle=color;ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1,y1);ctx.lineTo(x2,y2);ctx.stroke();ctx.closePath();ctx.restore();
}// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(start, 0);ctx.lineTo(end, 0);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);ctx.lineTo(end, 0);ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;y=5;for(x=start;x<end;x+=step){if(x==0){continue;}ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, 0);ctx.lineTo(x, y);ctx.stroke();ctx.closePath();var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);}ctx.restore();
}// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){const AXISY_COLOR="black";ctx.save();ctx.lineWidth=0.5;ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;// 画轴ctx.beginPath();ctx.moveTo(0, start);ctx.lineTo(0, end);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画箭头ctx.beginPath();ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.lineTo(0, end);ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);ctx.stroke();ctx.closePath();// 画刻度var x,y;x=5;for(y=start;y<end;y+=step){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y);ctx.lineTo(0, y);var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);var metrics = ctx.measureText(text);var textWidth = metrics.width;drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);ctx.stroke();ctx.closePath();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){var s=scale*10;if(s % 5==0){return scale+"";}else{return scale.toFixed(2);}
}// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){ctx.save();ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="lightgrey";    // 分十格var x,y;for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();ctx.closePath();}for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();ctx.closePath();}// 十小格间的分割线ctx.lineWidth=0.25;ctx.strokeStyle="grey";ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段for(x=x1;x<x2;x+=step1){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x, y1);ctx.lineTo(x, y2);ctx.stroke();}for(y=y1;y<y2;y+=step2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1, y);ctx.lineTo(x2, y);ctx.stroke();}ctx.restore();
}//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){return degree/180*Math.PI;
}//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){var arr=["maroon" /* 栗色 */,"orange" /* 橙色 */,"blue"   /* 蓝色 */,"green"  /* 绿色 */,       "fuchsia"/* 紫红 */,        "grey"   /* 灰色 */,"lime"   /* 酸橙 */,        "navy"   /* 海蓝 */,        "purple" /* 紫色 */,"skyblue"/* 天蓝 */,"teal"   /* 蓝绿 */,"yellow" /* 亮黄 */,"aqua"   /* 湖绿 */,"red"    /* 红色 */,        "black"  /* 黑色 */,    ];return arr[index % arr.length];
}//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){ctx.save();ctx.translate(x,y)ctx.rotate(getRad(180))ctx.scale(-1,1)ctx.textBaseline="bottom";ctx.textAlign="center";ctx.fillStyle=color;ctx.font = size+"px consolas";ctx.fillText(text,0,0);ctx.restore();
}// JS开立方
function kaiLiFang(x){if(x>0){return Math.pow(x,1/3);}else{return -Math.pow(-x,1/3);}
}
//-->
/****************************************
遇到事情，要学会沉住气，在默默无闻中积攒
力量，等待厚积薄发的一天。
****************************************/
</script>

END

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本文主要介绍如何在O2OA中进行审批流程表单或者工作流表单设计&#xff0c;O2OA主要采用拖拽可视化开发的方式完成流程表单的设计和配置&#xff0c;不需要过多的代码编写&#xff0c;业务人员可以直接进行修改操作。 在流程表单设计界面&#xff0c;可以在左边的工具栏找到Ele…
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CSS预处理器LESS

CSS预处理器LESS

LESS是一种CSS预处理器&#xff0c;它扩展了CSS的功能&#xff0c;通过引入变量、嵌套规则、Mixins&#xff08;混合&#xff09;、函数等特性&#xff0c;使得CSS的编写更加灵活和高效。以下是LESS的一些常用方式&#xff1a; 1. 变量 LESS允许定义变量&#xff0c;并在整个…
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文心一言 VS 讯飞星火 VS chatgpt （357）-- 算法导论24.2 3题

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三、上面描述的 PERT 图的公式有一点不太自然。在一个更自然的结构下&#xff0c;图中的结点代表要执行的工作&#xff0c;边代表工作之间的次序限制&#xff0c;即边 (u&#xff0c;v) 表示工作 u 必须在工作 v 之前执行。在这种结构的图中&#xff0c;我们将权重赋给结点&…
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InnoDB 和 MyIsam 引擎的区别？数据库存储引擎的选择与解析：InnoDB 与 MyISAM 的全面对比

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在当前的数字化时代&#xff0c;数据库不仅是保存信息的地方&#xff0c;更是业务运营的核心。MySQL 作为全球最流行的开源数据库之一&#xff0c;其灵活性和强大功能使得开发者和企业在选择存储引擎时需慎重考虑。本文将详细探讨 MySQL 中的两个主要存储引擎——InnoDB 和 MyI…
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