前言

其实主要的目的是可以在文本中输出各种数学符号，便于以后用到的时候有现成的例子拿过来抄~~

数列

按照一定次序排列的一列数:$u_1,u2,...,u_n,...$其中$u_n$叫做通项。

对于数列 { u n } \{u_n\} {un​},如果当n无限增加时,其通项无限接近于一个常数A,则称该数列以A为极限或者称数列收敛于A,否则称数列为发散。
$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$=A,或 $u_n\to A(n\to \infty )$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{3^n}=0$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$

$\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n$ 极限不存在

符号表示

$x\to \infty$ 表示“当$|x|$无限大时”

$x\to +\infty$ 表示“当$x$无限增大时”

$x\to -\infty$ 表示“当$x$无限减小时”

$x\to x_0$ 表示“当$x$从$x_0$的左右两侧无限接近$x_0时$”

$x\to x_0^{+}$ 表示“当$x$从$x_0$的右侧无限接近$x_0时$”

$x\to x_0^{-}$ 表示“当$x$从$x_0$的左侧无限接近$x_0时$”

函数的极限

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }arctan(x)=-\frac{\pi }{2}$

定义:

函数在$x_0$的领域内有定义,$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$,或者$f(x)\to A(x\to x_0)$

极限并不只是无穷的极限，按照趋近的方式不同有以下的方式

左极限:函数在左半领域$(x_0,x_0+\delta )$内有定义

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A,或者f(x)\to A(x\to x_0^{+})$或者$f(x_0+0)=A$

右极限:函数在右半领域$(x_0-\delta ,x_0)$内有定义

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A,或者f(x)\to A(x\to x_0^{-})$或者$f(x_0-0)=A$

函数极限的充要条件

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$的充要条件是
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$=A

即为：左极限=右极限,存在左极限不等于右极限的情况，下面给一个反例

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1,& x<0\\ 0& x=0\\ x+1& x>0\end{array}$$
当$x\to 0$时$f(x)的极限$

解：

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x+1)=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }(x-1)=0$
左右极限存在但是不相等

$\therefore$ $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ 不存在