从后验与模型推断视角深入剖析MATLAB中的变分贝叶斯蒙特卡罗(VBMC)算法：理论、代码示例与下载指南

在实践复杂的计算模型时，贝叶斯推断经常被用来进行参数估计和模型比较。其中，变分贝叶斯蒙特卡罗(VBMC)是一种高效的近似推理方法，能够在有限的预算下对具有潜在噪声似然评估的计算模型进行拟合和评估。这种方法并不只提供最优参数向量，而且给出其不确定性，甚至完整的后验分布，从而更全面地揭示模型的信息。本文将深入剖析VBMC在MATLAB中的实现和使用。

实战项目下载

一、变分贝叶斯蒙特卡罗(VBMC)算法：概述与原理

变分贝叶斯蒙特卡罗(VBMC)算法是一种基于变分推断和蒙特卡罗方法的复合算法。它结合了这两种方法的优点：变分推断的快速性和蒙特卡罗方法的精确性，从而能够在计算资源有限的情况下对具有噪声的似然函数进行有效的估计。

在贝叶斯框架下，VBMC的目标是计算后验分布 $p(\theta|x)$ ，其中 $\theta$ 是参数， $x$ 是观测数据。由于在复杂模型下，直接计算这个后验分布通常是困难的，VBMC使用一种叫做变分近似的方法来估计后验分布。它引入了一个简单的分布 $q(\theta)$ ，然后通过最小化分布 $p(\theta|x)$ 和 $q(\theta)$ 之间的Kullback-Leibler (KL) 散度，来找到最佳的 $q(\theta)$ 。

在VBMC中，这个 $q(\theta)$ 通常选择为高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)，因为GMM具有表达丰富且易于计算的特性。VBMC使用Expectation-Maximization (EM) 算法来估计GMM的参数，然后通过采样GMM得到后验分布的近似样本。

二、MATLAB中的VBMC实现

在MATLAB中实现VBMC算法，需要完成以下几个步骤：定义模型似然函数、设置VBMC选项、运行VBMC算法、处理结果。

1. 定义模型似然函数

首先，我们需要定义模型的似然函数。这个函数接收参数向量作为输入，返回对应的似然值。在以下的例子中，我们定义了一个简单的高斯分布模型。

function L = mylikelihood(theta)% mylikelihood 函数接收一个参数向量 theta，返回对应的似然值mu = 0; sigma = 1; L = -0.5 * ((theta - mu) / sigma)^2;
end

2. 设置VBMC选项

VBMC在MATLAB中有一套默认的选项，但是根据问题的具体情况，我们通常需要对这些选项进行调整。例如，我们可以设置最大迭代次数，设置后验分布的混合组件数量等。

options = vbmc('defaults'); % 获取默认选项
options.MaxIter = 200; % 设置最大迭代次数为200
options.SpecifyTargetNoise = true; % 开启噪声控制
options.TargetNoise = 0.01; % 设置目标噪声值为0.01

3. 运行VBMC算法

有了似然函数和选项，我们就可以运行VBMC算法了。VBMC函数接收模型的似然函数，参数的初值和选项，返回算法的结果。

theta0 = [0]; % 参数的初值
[vp,elbo] = vbmc(@mylikelihood,theta0,options); % 运行VBMC算法

4. 处理结果

VBMC函数返回的结果包括两部分：变分后验对象vp和下界估计值elbo。我们可以使用这些结果进行进一步的分析。例如，我们可以使用vp得到后验分布的参数估计值，使用elbo检查算法的收敛情况。

mu_post = vbmc_moments(vp); % 使用变分后验对象vp得到后验分布的参数估计值
converged = vbmc_check(vp,elbo); % 使用下界估计值elbo检查算法的收敛情况

三、VBMC算法的优化与使用技巧

虽然VBMC算法本身已经是一个非常强大的工具，但在实际使用过程中，我们还可以通过一些优化和技巧来提高算法的性能和稳定性。

1. 初始化

在运行VBMC算法之前，合理的初始化是非常重要的。初始化的目标是为算法提供一个合理的起点，避免算法陷入局部最优或者在搜索空间中浪费过多的时间。在实际操作中，我们可以通过先验知识、模型的物理意义、以及简化模型的结果等方法来选择合适的初值。

2. 超参数调整

VBMC的性能在很大程度上取决于其超参数的设置。虽然VBMC提供了一套默认的超参数，但这些超参数并不一定适用于所有的问题。因此，我们需要根据问题的具体情况来调整超参数。例如，我们可以根据问题的复杂性来调整最大迭代次数、目标噪声等超参数。

3. 后处理

在VBMC算法运行结束后，我们可以对结果进行后处理，以获得更多的信息。例如，我们可以通过抽样方法来得到后验分布的近似样本，然后用这些样本来估计后验分布的统计性质。我们也可以对多次运行VBMC的结果进行集成，以提高估计的稳定性和准确性。

四、VBMC用于贝叶斯模型比较

除了参数估计外，VBMC也可以用于贝叶斯模型比较。贝叶斯模型比较的目标是确定哪个模型更能够解释观测数据，这通常通过比较模型的边际似然（也称为模型证据）来实现。然而，在复杂模型下，直接计算模型的边际似然通常是困难的。在这种情况下，我们可以利用VBMC来近似计算边际似然。

VBMC提供了一个函数vbmc_marglike，可以用于计算模型的边际似然的近似值。这个函数接收变分后验对象作为输入，返回边际似然的近似值。

ml = vbmc_marglike(vp); % 使用变分后验对象vp计算模型的边际似然的近似值

我们可以对不同的模型运行VBMC算法，然后使用vbmc_marglike计算各个模型的边际似然，最后比较这些边际似然，从而确定哪个模型更能够解释观测数据。

五、VBMC在MATLAB中的代码下载与使用

要在MATLAB中使用VBMC，你需要下载并安装VBMC的MATLAB工具箱。VBMC的MATLAB工具箱是开源的，你可以从GitHub上下载。下载地址为：https://github.com/lacerbi/vbmc。

安装方法是将下载的工具箱解压到MATLAB的路径中，然后在MATLAB中运行addpath(genpath('工具箱路径'))命令，将工具箱路径添加到MATLAB的搜索路径中。

工具箱中包含了VBMC的所有函数，以及一些示例和测试代码。你可以通过阅读这些代码来了解VBMC的使用方法。同时，工具箱也提供了详细的文档，你可以通过阅读文档来了解VBMC的详细原理和实现。

六、VBMC在实际应用中的案例分析

了解了VBMC的原理和实现之后，我们来看一下VBMC在实际应用中的案例，以深化我们对这一算法的理解。

假设我们正在研究一种新的药物，我们希望通过实验数据来确定药物的效果。我们已经收集到了一些实验数据，这些数据是药物剂量和疗效的观测值。我们假设药物的疗效服从正态分布，其均值是药物剂量的函数，我们希望通过数据来确定这个函数。

在这个问题中，我们的模型是药物剂量和疗效的关系，参数是描述这个关系的函数的参数。我们的目标是找到最优的参数，使得模型能够最好地解释观测数据。

1. 定义模型似然函数

我们首先需要定义模型的似然函数。这个函数接收参数向量作为输入，返回对应的似然值。在这个问题中，我们假设药物疗效的均值是药物剂量的线性函数，因此我们的参数是线性函数的斜率和截距。

function L = mylikelihood(theta, x, y)% theta是参数向量，包含斜率和截距% x是药物剂量的观测值% y是药物疗效的观测值% 计算模型预测的疗效均值mu = theta(1) * x + theta(2);% 计算似然值L = -0.5 * sum((y - mu).^2);
end

2. 运行VBMC算法

有了似然函数，我们就可以运行VBMC算法了。VBMC函数接收模型的似然函数，参数的初值和选项，返回算法的结果。

theta0 = [0, 0]; % 参数的初值
options = vbmc('defaults'); % 获取默认选项
[vp,elbo] = vbmc(@(theta) mylikelihood(theta, x, y), theta0, options); % 运行VBMC算法

3. 结果分析

mu_post = vbmc_moments(vp); % 使用变分后验对象vp得到后验分布的参数估计值
converged = vbmc_check(vp,elbo); % 使用下界估计值elbo检查算法的收敛情况

我们还可以使用得到的后验分布参数估计值，来预测未来的实验结果。

x_new = [1.5]; % 新的药物剂量
y_pred = mu_post(1) * x_new + mu_post(2); % 预测新的药物疗效

这样，我们就使用VBMC算法完成了对药物效果的模型拟合和预测。

七、结语

本文详细介绍了变分贝叶斯蒙特卡罗（VBMC）算法在MATLAB中的应用，包括了该算法的原理、代码实现、使用技巧以及在实际问题中的应用案例。VBMC是一种高效的近似推理方法，能够在有限的预算下对具有潜在噪声似然评估的计算模型进行拟合和评估，无论是在学术研究还是工业应用中，都有着广泛的应用价值。

虽然VBMC在很多方面都表现出强大的能力，但是需要注意的是，它仍然是一种基于近似的推理方法，因此在使用过程中需要对其结果进行合理的解释和使用。对于复杂的问题，可能需要结合其他的推理方法，或者通过更多的模型假设和更复杂的模型来解决。

总的来说，我们希望这篇文章能帮助你理解和应用VBMC算法，也欢迎大家在使用过程中提出任何疑问或者建议，让我们一起探索和学习这个令人兴奋的领域。