题目

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思路

动态规划：

状态定义：$f[k][i][j]对应使用了不超过k次魔法，从i到j的路径集合$
状态表示：$路径长度最小值$
目标状态：$f[k][1][n]$
状态转移: $f[k][i][j]=min(f[k-1][i][t]+f[1][t][j]),t\in [1,n]$
优化：快速幂: $将一个k值对应一个矩阵，代表k代矩阵。我们就可以将状态转移方程转化为：$

$$\begin{array}{r}{f}_k[i][j]=min(f_{k-1}[i][t],f_1[t][j]),t\in [1,n]\end{array}$$
即该方程给出了k代矩阵的一个元素的计算方式。一个k代矩阵可以依靠一个k-1代矩阵和一个1代矩阵计算出来，类似地：
$$\begin{array}{rl}& f_k=f_{k-1}{f}_1\\ & f_k=(f_{k-2}{f}_1)(f_1{f}_0)\\ & f_k=f_1^k{f}_0\\ & f_7=f_4(f_2(f_1{f}_0))\end{array}$$
矩阵间的运算满足结合律，对k重运算可应用快速幂算法
f0就是对于邻接矩阵进行floyd后的矩阵d
枚举所有边进行一次魔法，尝试更新所有f0的路径，使得所有路径都最多用过一次魔法，得到f1


复杂度分析：快速幂复杂度*单个矩阵状态数量*每次状态转移的操作次数：
$$\begin{array}{r}O(logK\cdot (n^3))\end{array}$$

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 110, M = 2510;
struct edge{int a;int b;int c;
} edge[M];
LL d[N][N], f[N][N];
int n, m, K;
void mul(LL c[][N], LL a[][N], LL b[][N])
{LL temp[N][N];memset(temp, 0x3f, sizeof temp);for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){for(int k = 1; k <= n; k++){temp[i][j] = min(temp[i][j], a[i][k] + b[k][j]);}}}memcpy(c, temp, sizeof temp);
}
LL qmi()
{while(K){if(K&1) mul(d, d, f);mul(f, f, f);K >>= 1;}return d[1][n];
}
int main()
{cin >> n >> m >> K;memset(d, 0x3f, sizeof d);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) d[i][i] = 0;for(int i = 1; i <= m; i++){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;edge[i] = {a, b, c};d[a][b] = c;}for(int k = 1; k <= n; k++){for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);}}}memcpy(f, d, sizeof f);for(int k = 1; k <= m; k++){int a = edge[k].a, b = edge[k].b, c = edge[k].c;for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; j <= n; j++){f[i][j] = min(f[i][j], d[i][a] - c + d[b][j]);}}}cout << qmi();return 0;
}