优化算法：2.粒子群算法(PSO)及Python实现

一、定义

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法。想象一群鸟在寻找食物，每只鸟都在尝试找到食物最多的位置。它们通过互相交流信息，逐渐向食物最多的地方聚集。PSO就是基于这种群体智能的原理。

二、过程

1. 初始化粒子群

首先，我们随机生成一群粒子，每个粒子代表一个潜在的解。这些粒子就像一群鸟，它们在问题的解空间中随机分布。每个粒子有自己的位置和速度，位置表示解的参数，速度表示解的变化趋势。

设粒子群大小为 n，粒子的位置和速度用向量表示。假设搜索空间是 d 维的。

位置初始化：每个粒子的初始位置 $x_i$ 可以随机生成在搜索空间的范围内：

$x_{i,j} = x_{\text{min},j} + \text{rand()} \times (x_{\text{max},j} - x_{\text{min},j})$

其中， $x_{\text{min},j}$ 和 $x_{\text{max},j}$ 分别是第 j 维的最小值和最大值，rand() 是一个生成 [0, 1] 之间随机数的函数。
速度初始化：每个粒子的初始速度 $v_i$ 也可以随机生成：

$v_{i,j} = v_{\text{min},j} + \text{rand()} \times (v_{\text{max},j} - v_{\text{min},j})$

其中， $v_{\text{min},j}$ 和 $v_{\text{max},j}$ 分别是第 j 维的最小速度和最大速度。

2. 计算适应度

每个粒子都有一个“适应度”，这就像是鸟找到的食物量。适应度越高，表示解越好。我们用一个函数来计算每个粒子的适应度，这个函数通常是我们要优化的问题的目标函数。

计算每个粒子当前的位置 $x_i$ 对应的适应度值 $f(x_i)$ ，以衡量其解的好坏。这个适应度函数 f 就是我们要优化的目标函数，具体形式取决于实际问题。

3. 更新个体和全局最佳位置

每个粒子都记得自己找到的最好的位置（个体最佳位置 $p_i$ ），这叫做“个体最佳位置”。同时，所有粒子中找到的最好的位置叫做“全局最佳位置”（全局最佳位置 g)。在每次迭代中，我们检查每个粒子的当前位置是否比它之前找到的最好位置更好，如果是，就更新个体最佳位置。同时，我们也更新全局最佳位置。

在优化问题中，我们通常有一个目标函数 f(x)，其目的是要最小化或最大化这个函数。适应度函数 f(x) 是一个评估每个解好坏的函数。在最小化问题中，适应度函数值越小，表示这个解越好；而在最大化问题中，适应度函数值越大，表示这个解越好。

个体最佳位置更新：对于每个粒子，如果当前适应度值更好，则更新个体最佳位置：

如果 $f(x_i) < f(p_i)$ ，则 $p_i = x_i$ 。其中， $p_i$ 是第 i 个粒子的个体最佳位置。
全局最佳位置更新：检查所有粒子的个体最佳位置，找到适应度值最小（此处假设为最大化问题）的那个位置作为全局最佳位置： $g = \arg \min_{p_i} f(p_i)$ 。其中，g 是全局最佳位置。

4. 更新速度和位置

更新速度：

每个粒子的速度更新公式如下：

$v_{i,j}(t+1) = w \cdot v_{i,j}(t) + c_1 \cdot \text{rand()} \cdot (p_{i,j} - x_{i,j}(t)) + c_2 \cdot \text{rand()} \cdot (g_j - x_{i,j}(t))$

其中：

$v_{i,j}(t)$ 是第 i 个粒子在第 j 维上的当前速度。
w 是惯性权重，控制粒子保持原有速度的程度。
$c_1$ 是认知系数，控制粒子向自身历史最佳位置移动的程度。
$c_2$ 是社会系数，控制粒子向全局最佳位置移动的程度。
$\text{rand()}$ 是一个生成 [0, 1]之间随机数的函数。
$p_{i,j}$ 是第 i 个粒子在第 j 维上的个体最佳位置。
$g_j$ 是全局最佳位置在第 j 维上的值。
$x_{i,j}(t)$ 是第 i 个粒子在第 j 维上的当前位置。

更新位置:

每个粒子的位置更新公式如下：

$x_{i,j}(t+1) = x_{i,j}(t) + v_{i,j}(t+1)$

其中：

$x_{i,j}(t)$ 是第 i 个粒子在第 j 维上的当前位置。
$v_{i,j}(t+1)$ 是第 i 个粒子在第 j 维上的更新后的速度。

5. 重复迭代

我们重复上述步骤，直到满足某个停止条件，比如达到最大迭代次数，或者粒子的适应度变化很小。

三、Python示例

目标函数：定义了一个简单的目标函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 。
参数设置：设置了PSO算法的参数，包括粒子数量、迭代次数、惯性权重和认知/社会系数。
初始化：初始化了粒子的位置和速度，同时记录每个粒子的个体最佳位置和全局最佳位置。
迭代优化：在每次迭代中，更新粒子的速度和位置，更新个体最佳位置和全局最佳位置，记录全局最佳位置的历史。
理论结果：定义的目标函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 中，全局最优解显然是 (x, y) = (0, 0)，因为这是函数的最小值点，其值为0。全局最佳位置的移动轨迹应该表现为逐步接近原点 (0, 0)的过程。

完整代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义目标函数（f(x) = x^2 + y^2）
def objective_function(position):return position[0] ** 2 + position[1] ** 2# 参数
num_particles = 30  # 粒子数量，即搜索空间中的粒子数
num_iterations = 100  # 迭代次数，即算法运行的总次数
w = 0.7  # 惯性权重，控制粒子速度的惯性
c1 = 1.5  # 认知系数
c2 = 1.5  # 社会系数# 初始化粒子位置和速度
particles_position = np.random.uniform(-10, 10, (num_particles, 2))  # 随机初始化粒子的位置，范围在 [-10, 10] 之间
particles_velocity = np.random.uniform(-1, 1, (num_particles, 2))  # 随机初始化粒子的速度，范围在 [-1, 1] 之间
personal_best_position = particles_position.copy()
personal_best_value = np.array([objective_function(p) for p in particles_position])
global_best_position = personal_best_position[np.argmin(personal_best_value)]
global_best_value = np.min(personal_best_value)# 记录优化过程中的全局最佳位置
global_best_positions_history = []for iteration in range(num_iterations):for i in range(num_particles):# 更新速度r1, r2 = np.random.rand(2)particles_velocity[i] = (w * particles_velocity[i] +c1 * r1 * (personal_best_position[i] - particles_position[i]) +c2 * r2 * (global_best_position - particles_position[i]))# 更新位置particles_position[i] += particles_velocity[i]# 更新个体最佳位置current_value = objective_function(particles_position[i])if current_value < personal_best_value[i]:personal_best_value[i] = current_valuepersonal_best_position[i] = particles_position[i]# 更新全局最佳位置current_best_value = np.min(personal_best_value)if current_best_value < global_best_value:global_best_value = current_best_valueglobal_best_position = personal_best_position[np.argmin(personal_best_value)]# 记录全局最佳位置global_best_positions_history.append(global_best_position.copy())# 绘制结果
global_best_positions_history = np.array(global_best_positions_history)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(global_best_positions_history[:, 0], global_best_positions_history[:, 1], 'bo-', label='Global Best Position',zorder=1)
plt.scatter(global_best_positions_history[-1, 0], global_best_positions_history[-1, 1], color='red', s=50,label='Final Global Best', zorder=2)
plt.text(global_best_positions_history[-1, 0], global_best_positions_history[-1, 1],f'({global_best_positions_history[-1, 0]:.2f}, {global_best_positions_history[-1, 1]:.2f})',color='red', fontsize=12, zorder=3)
plt.title('PSO Optimization Process')
plt.xlabel('X Position')
plt.ylabel('Y Position')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

结果如下：