目录

一、什么是递归

二、递归的思想

三、递归的限制条件

四、递归中的栈溢出

五、递归举例

（1）例1：n的阶乘

（2）例子2：顺序打印一个数的每一位

六、递归和迭代

七、拓展题目

（1）青蛙跳台阶问题

（2）汉诺塔问题

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一、什么是递归

        递归就是函数自己调用自己。下面举一个简单的递归例子（并不能解决问题，用法也不正确，只是让大家感受一下递归是什么样的）：

        在打印了很多次后终止了运行，但预期是一直死循环打印下去，为什么会这样？调试看看：

        用F11进行调试，不进入第6行的main()；，最后弹出了一个错误，如上图，Stack overflow（栈溢出），出现这个问题的原因在第四节讲。

二、递归的思想

        将一个复杂的问题分解为相似的子问题，子问题再分解为更小的相似子问题，直到子问题不能再分解就结束分解。递归的递，表示递推，就是分解的过程；递归的归，表示回归，结束分解后再一个个返回子问题计算的结果，从小问题的解决到最后整个复杂问题的解决。

三、递归的限制条件

        递归必须有以下两个条件：

• 递归必须有限制条件，这是递归中递推过程结束的条件。
• 每一次递归，要离限制条件更近。

四、递归中的栈溢出

        在C语言中每次调用函数，都会向栈区申请一块内存空间，用于存放函数调用期间的各种信息（包括调用函数里局部变量的值等），这块空间被称为 运行时堆栈 或 函数栈帧。

        每一次递归都会为调用的函数申请一块栈帧空间，只有函数返回后，才会释放对应的栈帧空间。如果递归太深而不返回，就会导致内存不够，发生栈溢出的问题。

        这也是为什么递归必须要有限制条件的原因。

五、递归举例

（1）例1：n的阶乘

        题目：计算n的阶乘（不考虑溢出，数太大了会发生溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

        分析：

        Fact(n)是求解n阶乘的递归函数，Fact(n - 1)是求解n - 1阶乘的递归函数，也是求解n阶乘的相似子问题。n等于0时，0的阶乘为1，是该递归函数的限制条件。

        代码及运行结果：

        递归过程图（红色是递推过程，蓝色是回归过程，绿色是返回的结果）：

（2）例子2：顺序打印一个数的每一位

        题目：输入一个整数m，按照顺序打印m的每一位数。

        如：输入1234，打印1 2 3 4。

        分析：对于数字n，使用n%10可以得到最后一位数。

        9 > m ≥ 0时打印m，就是该递归的限制条件；Fact(m/10)就是相似子问题。这道题中的递归没有返回值，而是把返回值改为了打印数字。因为当m为个位数时，也可以用m%10表示，所有在代码中可以把两个条件下的打印部分统一在一起。

        代码及运行结果：

六、递归和迭代

        递归非常好用，可以把一个复杂的问题，以很简单的代码解决，但是它也有缺陷，在第四节讲的递归太深会造成很大的运行开销（无论是时间还是空间）。所以当一个问题用递归的方法很好解决，但是对于运行时的开销有很大的缺陷，递归的好用已经弥补不了这个缺陷时，就需要用迭代的方法（通常是循环的方式）解决了。

        递归运行开销大这个缺陷，在斐波那契数列这道题中显著体现。

        题目：求第n个斐波那契数。第一、二个数是1，后面的数都是它前两数的和。如：1，1，2，3，5......

        ① 递归的方法：

        分析：

        这道题可以用很简单的递归方法解决。

        代码及运行结果：

        当n较小时，比如10，很快计算出了结果。

        当n较大时，比如50，计算特别慢，等了很久都没有结果出来。大家可以试试。

        讨论一下运行慢的原因：

        简略画一下计算第50个斐波那契数的递归过程图：

        从上面的图可以看到有很多重复（同色）的计算，这个图只是画了一点，全部延伸下去直到遇到1和2才结束递推，可想而知要计算很多很多很多很多次。

        用小点的n = 40做例子，看看计算了多少次Fact(3)：

        可以看到仅仅对于比较小的数40，它的Fact(3)就计算了这么多次！

        所以这道题我们不能使用递归的方法，它的运行开销实在太大。改用循环的方法：

        计算n=50，结果立马就运行出来了。注：把a、b、c换成long long类型是因为计算结果太大了，定义为int类型会溢出，看不到正确结果。仔细思考一下，这个计算时间只要50-2=48次循环而已。对比一下，用递归法算n=40，光计算Fact(3)都计算了39088169次。

七、拓展题目

（1）青蛙跳台阶问题

        题目：一只青蛙一次可以跳1个或者2个台阶，请计算它跳n个台阶有几种跳法。

        分析：

        如果跳n个台阶，最后一跳要么是已经跳了n-1个台阶，最后一次跳一个台阶；要么是已经跳了n-2个台阶，最后一次跳两个台阶。Fact(n)表示跳n阶的跳法种数，可以拆分成 “最后跳一个台阶：跳n-1阶的跳法种数Fact(n-1)” 加上 “最后跳两个台阶：跳n-2阶的跳法种数Fact(n-2)”。对于限制条件（因为n=3的时候要算Fact(1)和Fact(2)，所以限制条件为n=1和n=2两种情况）：跳一个台阶时，只有一种跳法；跳两个台阶时，有两种跳法（跳两次一阶，或者跳一次两阶）。

        代码及运行结果：

（2）汉诺塔问题

        题目：如下图，有ABC三个杆，A杆上有n个盘子，请计算把A杆上的n个盘子全部移到C杆上，需要移动多少次盘子。

        移动规则：

• 一次只能移一个盘子。
• 大盘子不能放在小盘子上。
• 可以以B杆作为中介柱子。

        分析：

        首先，若只有一个盘子，需要移动1次（A>C）;若只有两个盘子，需要移动3次（小：A>B，大：A>C，小：B>C）。而n（n>1）个盘子，则可以类比移动两个盘子，看作上面有n-1个盘子和下面有一个盘子。因为最底下那个盘子最大，所以上面n-1个盘子中，随便哪个盘子都可以在它的上面。因此，上面的n-1个盘子移动时，可以把最底下的那个盘子忽略掉。【上面n-1整体：A>B，移动Fact(n-1)次；最大：A>C，移动1次；上面n-1整体：B>C，移动Fact(n-1)次】，加起来就是1+2*Fact(n-1)次。

        为什么不把下面的n-1个作为整体，最小的看作另一个整体呢？如果把最小的看作一部分，下面的n-1个看作一部分，n-1个盘子移动时，就不能忽略掉最小的那个，【最小：A>B，移动1次；n-1整体：A>C，移动Fact(n-1)次；最小：B>C，移动一次】这个想法也就是错误的。因此，不能用Fact(n) = 2 + Fact(n-1)做递归。

        代码及运行结果：