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✨ 本系列打算持续跟新 秋招笔试题
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💡 本次的笔试难度跨度较大，前两题比较简单，最后一题需要 前缀和优化DP 解决，其中 Python 和 Java 在笔试中据说会超时

😒 01.心情管理大师

问题描述

K小姐是一名心理咨询师，她最近在研究人们的心情变化规律。她发现，当一个人连续工作时，每天的心情指数会下降 $A$ 点；而当这个人休息一天时，心情指数会上升1点。

K小姐想要帮助她的客户A先生进行心情管理。A先生目前的心情指数为0，他计划先连续工作 $B$ 天，然后开始休假。K小姐想知道，从A先生开始工作到他的心情指数再次回到0，总共需要多少天。

请你帮助K小姐编写一个程序，计算出这个天数。

输入格式

第一行给出测试用例的数量 $T$。

随后 $T$ 行，每行给出 $A$ 和 $B$ 的值，用空格分隔。

输出格式

输出 $T$ 行，每行一个整数，表示对应测试用例的答案。

样例输入

2
2 3
3 1

样例输出

9
4

数据范围

$1\le T\le 100$
$1\le A,B\le 1000$

题解

1. 计算 $B$ 天工作后的心情指数变化：$-A\times B$。

2. 计算需要多少天休息才能让心情指数回到0：$A\times B$。

3. 3总天数就是工作天数加上休息天数：$B+(A\times B)=B\times (A+1)$。

因此，我们可以直接用公式 $B\times (A+1)$ 计算出结果。

参考代码

• Python

def solve():# 读取输入的 a 和 b 值a, b = map(int, input().split())# 计算并输出结果print(b * (a + 1))# 读取测试用例数量
t = int(input())
# 循环处理每个测试用例
for _ in range(t):solve()

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void solve(Scanner sc) {// 读取输入的 a 和 b 值int a = sc.nextInt();int b = sc.nextInt();// 计算并输出结果System.out.println(b * (a + 1));}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);// 读取测试用例数量int t = sc.nextInt();// 循环处理每个测试用例while (t-- > 0) {solve(sc);}sc.close();}
}

• Cpp

#include <iostream>
using namespace std;void solve() {int a, b;// 读取输入的 a 和 b 值cin >> a >> b;// 计算并输出结果cout << b * (a + 1) << endl;
}int main() {int t;// 读取测试用例数量cin >> t;// 循环处理每个测试用例while (t--) {solve();}return 0;
}

📝 02.密码学家的挑战

问题描述

K小姐是一位密码学家，她最近在研究一种特殊的加密方法。这种方法将一个十进制数转换为不同进制（2 到 36 进制）的表示，其中 A 表示 10，B 表示 11，以此类推，Z 表示 35。

K小姐发现，某些数字在特定进制下的表示中只包含一个数字 1。她想知道，对于给定的十进制数 $n$，在所有 2 到 36 进制的表示中，最多可以包含多少个数字 1。

请你帮助 K小姐编写一个程序，计算出这个最大值。

输入格式

输入一行，包含一个整数 $n$（$1\le n\le 3\cdot 10^5$），表示给定的十进制数。

输出格式

输出一行，包含一个整数，表示在 2 到 36 进制的所有表示中，数字 1 出现次数的最大值。

样例输入

4

样例输出

2

样例说明

当 $n=4$ 时，在 3 进制下表示为 $(11{)}_3$，包含两个 1，这是最多的情况。

数据范围

$1\le n\le 3\cdot 10^5$

题解

1. 对于给定的十进制数 $n$，遍历 2 到 36 的所有进制。

2. 对于每种进制，将 $n$ 转换为该进制的表示，并统计其中 1 的个数。

3. 记录所有进制中 1 的个数的最大值。

关键在于如何高效地进行进制转换和计数。可以使用除法和取模运算来实现进制转换，同时统计 1 的出现次数。

时间复杂度分析：对于每个数 $n$，需要尝试 35 种进制（2 到 36），每次转换的时间复杂度为 $O(\log n)$。因此总的时间复杂度为 $O(35\log n)$

参考代码

• Python

def solve():# 读取输入的十进制数n = int(input())# 初始化最大1的个数为0max_ones = 0# 遍历2到36的所有进制for base in range(2, 37):num, ones = n, 0# 进行进制转换，同时统计1的个数while num:if num % base == 1:ones += 1num //= base# 更新最大1的个数max_ones = max(max_ones, ones)# 输出结果print(max_ones)# 调用主函数
solve()

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);// 读取输入的十进制数int n = sc.nextInt();// 初始化最大1的个数为0int maxOnes = 0;// 遍历2到36的所有进制for (int base = 2; base <= 36; base++) {int num = n, ones = 0;// 进行进制转换，同时统计1的个数while (num > 0) {if (num % base == 1) {ones++;}num /= base;}// 更新最大1的个数maxOnes = Math.max(maxOnes, ones);}// 输出结果System.out.println(maxOnes);sc.close();}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;int main() {int n;// 读取输入的十进制数cin >> n;// 初始化最大1的个数为0int maxOnes = 0;// 遍历2到36的所有进制for (int base = 2; base <= 36; base++) {int num = n, ones = 0;// 进行进制转换，同时统计1的个数while (num) {if (num % base == 1) {ones++;}num /= base;}// 更新最大1的个数maxOnes = max(maxOnes, ones);}// 输出结果cout << maxOnes << endl;return 0;
}

🍿 03.魔法师的序列挑战

问题描述

K小姐是一位魔法师，她最近在研究一种特殊的魔法序列。这种序列具有以下特性：

• 序列长度为 $n$，每个元素不超过 $m$。
• 序列是非递减的。
• 序列中所有元素的魔法异或值恰好等于 $m$。

K小姐想知道有多少种不同的魔法序列满足这些条件。你能帮助她解决这个难题吗？

输入格式

输入一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$（$1\le n\le 300$；$0\le m\le 300$），分别表示序列的长度和魔法异或值。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的魔法序列的数量。由于答案可能很大，请对 $10^9+7$ 取模后输出。

样例输入1

3 2

样例输出1

4

样例输入2

200 200

样例输出2

391022064

数据范围

• $1\le n\le 300$
• $0\le m\le 300$

题解

这个问题可以使用动态规划来解决。定义状态 $dp[i][j][k]$ 表示长度为 $i$，最后一个数是 $j$，异或和为 $k$ 的方案数。

状态转移方程为：

$dp[i][j][k]={\sum }_{0\le l\le j}dp[i-1][l][k\oplus j]$

其中 $\oplus$ 表示异或操作。

为了优化时间复杂度，可以使用前缀和来加速计算。最终的时间复杂度为 $O(n\cdot m^2)$。

据考友反馈，在笔试的时候python 和 java 代码是会超时的，建议冲 cpp

参考代码

• Python

MOD = 10**9 + 7def solve():n, m = map(int, input().split())# 初始化DP数组dp = [[[0] * (2*m+1) for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]# 初始化长度为1的情况for j in range(m+1):dp[1][j][j] = 1# 动态规划过程for i in range(2, n+1):# 计算前缀和prefix_sum = [[0] * (2*m+1) for _ in range(m+1)]for j in range(m+1):for k in range(2*m+1):prefix_sum[j][k] = dp[i-1][j][k]if j > 0:prefix_sum[j][k] = (prefix_sum[j][k] + prefix_sum[j-1][k]) % MOD# 状态转移for j in range(m+1):for k in range(2*m+1):if k ^ j <= 2*m:dp[i][j][k] = prefix_sum[j][k ^ j]# 计算最终结果ans = sum(dp[n][j][m] for j in range(m+1)) % MODprint(ans)solve()

• Java

import java.util.Scanner;public class Main {static final int MOD = 1000000007;static final int N = 301;static int[][][] dp = new int[N][N][N << 1];static int[][] prefixSum = new int[N][N << 1];public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();// 初始化长度为1的情况for (int j = 0; j <= m; j++) {dp[1][j][j] = 1;}// 动态规划过程for (int i = 2; i <= n; i++) {// 计算前缀和for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= m * 2; k++) {prefixSum[j][k] = dp[i - 1][j][k];if (j > 0) {prefixSum[j][k] = (prefixSum[j][k] + prefixSum[j - 1][k]) % MOD;}}}// 状态转移for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= 2 * m && (k ^ j) <= 2 * m; k++) {dp[i][j][k] = prefixSum[j][k ^ j];}}}// 计算最终结果int ans = 0;for (int j = 0; j <= m; j++) {ans = (ans + dp[n][j][m]) % MOD;}System.out.println(ans);}
}

• Cpp

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 301;int dp[N][N][N << 1];  // DP数组，dp[i][j][k]表示长度为i，最后一个数是j，异或和为k的方案数
int prefix_sum[N][N << 1];  // 前缀和数组，用于优化计算int main() {int n, m;cin >> n >> m;// 初始化长度为1的情况for (int j = 0; j <= m; ++j) {dp[1][j][j] = 1;}// 动态规划过程for (int i = 2; i <= n; i++) {// 计算前缀和for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= m * 2; k++) {prefix_sum[j][k] = dp[i - 1][j][k];if (j > 0) {prefix_sum[j][k] = (prefix_sum[j][k] + prefix_sum[j - 1][k]) % MOD;}}}// 状态转移for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= 2 * m && (k ^ j) <= 2 * m; k++) {dp[i][j][k] = prefix_sum[j][k ^ j];}}}// 计算最终结果int ans = 0;for (int j = 0; j <= m; ++j) {ans = (ans + dp[n][j][m]) % MOD;}cout << ans << "\n";return 0;
}