考研中常见的几种换元法积分计算题
(1)被积式仅包含一个根式：根号下为有 a a a 和 x x x 的平方和/平方差
此种类型的积分题型，可以通过构造单个锐角大小为 t t t 的直角三角形，利用勾股定理和三角函数进行代换。
平方和的情况
- 形如
∫ R ( x , x 2 + a 2 ) d x \int{R(x,\sqrt{x^2 + a^2})dx} ∫R(x,x2+a2)dx
平方差的情况
- 形如
∫ R ( x , x 2 − a 2 ) d x \int{R(x,\sqrt{x^2 - a^2})dx} ∫R(x,x2−a2)dx
- 或
∫ R ( x , a 2 − x 2 ) d x \int{R(x,\sqrt{a^2 -x^2})dx} ∫R(x,a2−x2)dx
(2)被积式包含两个根指数不一样的根式：根号下为同一个含 x x x 的线性函数
- 形如
∫ R ( x , a x + b n , a x + b m ) d x \int{R(x,\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})dx} ∫R(x,nax+b,max+b)dx
代换中令
t = a x + b n m t=\sqrt[nm]{ax+b} t=nmax+b
则 x x x 可写成含 t t t 的表达式
x = t n m − b a − c t 2 x=\frac{t^{nm}-b}{a-ct^2} x=a−ct2tnm−b
代换后，积分式中的 d x dx dx 可以写成
d x = 2 1 + t 2 d t dx=\frac{2}{1+t^2}dt dx=1+t22dt
(3)被积式仅包含一个根式：根号下为两个含有 x x x 的线性函数相除
- 形如
∫ R ( x , a x + b c x + d ) d x \int{R(x,\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}})dx} ∫R(x,cx+dax+b)dx
代换中令
t = a x + b c x + d t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}} t=cx+dax+b
则 x x x 可写成含 t t t 的表达式
x = d t 2 − b a − c t 2 x=\frac{dt^2-b}{a-ct^2} x=a−ct2dt2−b
代换后，积分式中的 d x dx dx 可以写成
d x = 2 ( a d − b c ) t ( a − c t 2 ) 2 d t ，其中 a d − b c ≠ 0 dx=\frac{2(ad-bc)t}{(a-ct^2)^2}dt，其中ad-bc\ne0 dx=(a−ct2)22(ad−bc)tdt，其中ad−bc=0
(4)含三角函数 sin x \sin x sinx 和 cos x \cos x cosx 的积分式
- 形如
∫ R ( sin x , cos x ) d x \int{R(\sin x,\cos x)dx} ∫R(sinx,cosx)dx
代换中令
t = tan x 2 t=\tan\frac{x}{2} t=tan2x
则 sin x 、 cos x \sin x、\cos x sinx、cosx 均可写成含 t t t 的表达式
sin x = 2 t 1 + t 2 \sin x=\frac{2t}{1+t^2} sinx=1+t22t
cos x = 1 − t 2 1 + t 2 \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} cosx=1+t21−t2
代换后，积分式中的 d x dx dx 可以写成
d x = 2 1 + t 2 d t dx =\frac{2}{1+t^2}dt dx=1+t22dt
