目录

前言：

1 AVL树的创建

2 部分成员函数

2.1 查找

2.2 中序遍历

2.3 插入

2.4 左旋转

2.5右旋转

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前言：

上文，上上文提到了map set，二叉搜索树，其实都是为了近两文做铺垫的，虽然map的底层是红黑树，但是也为AVL树的学习打下了基础，那么什么是AVL树呢？由谁发明的呢？
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis发明的，名字就是发明家的首字母咯，发明是用来干什么的呢？发明出来是为了解决当树的结构趋近于单链表时候，效率接近O(N)的问题，只要能有效降低高度，那么就能提高速度，所以AVL树，诞生了。

创建AVL树有很多种方式，我们本次介绍的是使用的平衡因子的概念，也就是每个节点都有个平衡因子，绝对值不能超过1，也就是取值范围是0 1 -1，如果超过2，也就代表树失衡了，需要进行旋转调整。

这里旋转右子树高度减左子树高度的值作为平衡因子的大小，当然，AVL树的满足条件就是，左右子树都是AVL树，并且每个节点的平衡因子都小于2。

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1 AVL树的创建

AVL树的创建和二叉平衡搜索树是一样的，无非是每个节点的区别而已，前言，上文提及，节点涉及到的内容有，平衡因子，左右指针，key或者是key-value，这里我们使用key-value模型实现。

但是！当我们旋转的时候，涉及到的节点势必有某个节点的父节点，所以还有一个成员变量，指向父节点的指针，所以AVL树实际上是三叉链的结构：

template<class T, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<T>* _left;AVLTreeNode<T>* _right;AVLTreeNode<T>* _parent;pair<T, V> _kv;int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<T,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

这就是节点的创建。

那么AVL树的大体如下：

template<class T>
class AVLTree
{
public:typedef AVLTreeNode<T, V> Node;private:Node* _root = nullptr;
};

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2 部分成员函数

这里要实现的成员函数有左旋，右旋，以及查找，插入(实现一半)，以及中序遍历。

但是部分函数其实变化不打，改的都是细枝末节的东西，这里直接给代码即可：

2.1 查找

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

2.2 中序遍历

	void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

2.3 插入

插入和二叉搜索树都是一样的，但是呢，插入完成之后，平衡因子怎么改变呢？

我们现在不妨来分析一下，平衡因子在插入后会有哪些改变？

当我们在8的左边插入数据后，8的平衡因子变为了0，此时，父节点的平衡因子就不用更新了，因为作为7的右子树来说，8这个子树的高度没有变。

当我们在6的任意部分插入数据，6的平衡因子变为了1或者是-1，此时，需要往上更新数据，7的平衡因子被更新为了0，那么不用往上了，所以此时我们就可以发现一个规律，基于原有的AVL树的基础上，插入数据之后平衡因子变为0的，都不用继续遍历了，因为平衡了，但是要注意是 基于原来的树就是AVL树。

当我们在9的右边插入数据，此时9的平衡因子变为了1，往上更新，8的平衡因子变为了2，那么就需要旋转了，此时是完全的右子树高，所以需要左旋转。

当我们在9的右边插入数据，此时9的平衡因子变为了1，往上更新，8的平衡因子变为了2，那么就需要旋转了，此时是完全的右子树高，所以需要左旋转。

当我们在0的左边边插入数据，此时0的平衡因子变为了-1，往上更新，1的平衡因子变为了-2，那么就需要旋转了，此时是完全的左子树高，所以需要右旋转。

所以插入这里要干的事是更新平衡因子，一直往上更新，直到出现0或者是更新到根节点位置，更新到根节点也就说明了父节点为空，就可以结束了，为0也可以直接结束：

bool Insert(const pair<T,V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* root = _root;Node* parent = nullptr;//判断部分while (root){if (kv.first > root->_kv.first){parent = root;root = root->_right;}else if (val < root->_kv.first){parent = root;root = root->_left;}else{return false;}}Node* newnode = new Node(kv);//连接部分 开始判断大小关系if (parent->_key > kv.first){parent->_left = newnode;}else{parent->_right = newnode;}//更新平衡因子newnode->_parent = parent;while (parent){if (parent->_left == newnode){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){newnode = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//右单旋if (parent->_bf == -2 || newnode->_bf == -1){RotateR(parent);}//左单旋else if (parent->_bf == 2 || newnode->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -1){}else{}}else{//理论而言不可能出现这种情况assert(false);}}return true;
}

为了保险期间，出现了超过2的情况就要报错了。

现在的问题就是，面对完全的右子树高或者是完全的左子树高我们应该怎么操作？

2.4 左旋转

此时，这棵AVL树就不平衡了，那么我们可以从一个有趣的角度来看，7是当家的，8的二当家，6是三当家，当家的不管事，二当家一不小心做大做强了，那么当家的就得易主了是吧？所以7要下位了，此时8的左子树就应该指向7，那么7的右子树就应该指向8的左子树，空也没有关系。那么旋转完成了吗？没有，现在不够形象，换个结构，我们这样看：

旋转的核心就是这两条线的指向，二号指向7，一号指向7.5，这个过程大家脑部一下，就十分形象了。

但是不要忘了，AVL树实际上是三叉链结构，所以还有父节点需要更新，二号的节点如果不为空，父节点应该指向的是7，7如果不是根节点，那么我们还要用7的父节点作为连接的下一步，判断相对位置，让7的父节点连8，如果是根节点，那么根节点易位就可以了。此时连接的差不多了，但是涉及到的8的父节点还要连接，可能是空，也可能是7的父节点，这里代码给上，结合文字的说明，代码写的也是有区域性的，结合相对来说好理解许多：

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;subR->_left = parent;parent->_right = subRL;parent->_parent = subR;//可能为空，比如接近单链表if (subRL){subRL->_parent = parent;}//旋转的时候判断是不是根节点if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//根据位置进行连接Node* pparent = parent->_parent;if (parent == _root->_left){_root->_left = subR;}else{_root->_left = subRL;}//三叉链记得更新完subR->_parent = _pparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.5右旋转

右旋转的是同理的，就直接给代码了：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;subL->_right = parent;parent->_left = subLR;parent->_parent = subL;if (subLR)subLR->_parent = parent;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{Node* pparent = parent->_parent;if (parent == _root->_left){_root->_left = subL;}else{_root->_right = subL;}subL->_parent = pparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

以上两种情况是完全的左右子树高，所以只需要一个左旋或者是右旋，下篇是，复合旋转！

至于为什么平衡因子旋转之后一定为0，请见下文~

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感谢阅读！