【算法】TopK问题超详解

TopK算法

TopK问题基本框架就是：

从n个数中，找出最大（或最小）的前k个数。

在我们生活中，经常会遇到TopK问题

比如大众点评的必吃榜；成绩单的前十名；各种数据的最值筛选；
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我们应该知道的是

TopK问题的最基本流程包括以下几个阶段：

首先对数据进行排序，从小到大或者从大到小
直接返回排序后的数组的前k个即可

这是最简单的排序思想，我们可以使用快速排序或者冒泡排序等来实现排序过程

一、冒泡排序

冒泡排序作为常见的排序方法，它在这的核心思想和算法步骤是这样的：

不断比较前后a[i]和a[i+1]两个元素，将较大的那一个往后放；直到冒泡完，最后的k个即为要求TopK元素

代码详解

//冒泡排序的解法
void TopK_BubSort(int* a, int n, int k)
{for (int i = 0; i < n - 1; i++){for (int j = 0; j < n - 1 - i; j++)//冒泡排序的核心代码{int tmp = 0;if (a[j] > a[j + 1])//进行冒泡排序{tmp = a[j];a[j] = a[j + 1];a[j + 1] = tmp;}}}for (int i = n - 1; i >= n - k; i--)//返回排序完之后的k个元素{printf("%d ", a[i]);}
}

时间复杂度

O(n^2)

二、快速排序

第二种排序方法我们可以使用快速排序

//快速排序的解法
void TopK_QuickSort(int* a, int n, int k)
{QuickSort(a, 0, n - 1, k);for (int i = n - 1; i >= n - k; i--){printf("%d ", a[i]);}
}void QuickSort(int* a, int left, int right, int k)
{if (left >= right)//当左边大于右边的时候，直接返回即可{return;}int div = PartSort(a, left, right);//进行快排if (div == k)//当div等于k的时候，直接返回{return;}else if (div < k)//当div小于k的时候，继续递归{QuickSort(a, div + 1, right, k);}else//当div大于k的时候，继续递归{QuickSort(a, left, div - 1, k);}
}int PartSort(int *a,int left,int right)
{//设置左右两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素int begin = left;int end = right;int tmp = a[right];//我们选择数组最后一个元素作为基准值while (begin < end)//快排的核心代码（具体的算法思想自行搜索）{while (begin < end && a[begin] >= tmp){begin++;}while (begin < end && a[end] <= tmp){end--;}if (begin < end){Swap(&a[begin], &a[end]);}}Swap(&a[begin], &a[right]);return begin;
}

时间复杂度

在最坏的情况下，即每次分区都选择了当前序列的最大或最小元素作为基准值，快速排序的时间复杂度为O(n^2)。但是在平均情况下，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。

O(nlogn)

三、快速选择

快速选择算法是快速排序的变种，利用分治思想，通过不断划分数组，将枢轴（pivot）放在其正确位置，最终找到第k大的元素；同时要注意的是：快速选择需要较好的平均性能且对最坏情况性能要求不高。

int partition(int arr[], int low, int high) {int pivot = arr[high];int i = low - 1;for (int j = low; j < high; j++) {if (arr[j] >= pivot) {i++;int temp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = temp;}}int temp = arr[i + 1];arr[i + 1] = arr[high];arr[high] = temp;return i + 1;
}int quickSelect(int arr[], int low, int high, int k) {if (low <= high) {int pi = partition(arr, low, high);if (pi == k - 1)return arr[pi];else if (pi > k - 1)return quickSelect(arr, low, pi - 1, k);elsereturn quickSelect(arr, pi + 1, high, k);}return -1;
}void topKQuickSelect(int arr[], int n, int k) {for (int i = 0; i < k; i++) {int result = quickSelect(arr, 0, n - 1, i + 1);printf("%d ", result);}printf("\n");
}

时间复杂度：

期望时间复杂度是O(n)，但最坏情况为O(n^2)。

O(n)

除了排序以外，实际上还有其他的方法来实现。

四、堆排序

无序地返回TopK

我们了解到TopK的核心思想是找出这k个数，但并非要我们对这k个数也进行排序；所以我们直接使用堆来找出k个数即可。在时间复杂度上会大大降低从而提高时间效率。

具体的算法步骤是这样的：

初始化

首先建一个小堆，将数组的前k个元素放入堆中（注意：这里是前k个元素，而不是最终要求的k个元素，我们最终要返回这个堆，所以初始化也使用k个元素的空间）
比较

将堆顶元素与数组中第k+1个元素以及以后的元素依次进行比较，假设这里我们要得到的是最大的k个元素，那么当数组中元素比堆顶元素大时，就进行交换；
返回

最终当所有元素都比较完后，此时堆中的k个元素就是我们最终要求的那k个元素，返回即可。

代码详解

void TopK_Heap(int* a, int n, int k)
{HP hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < k; i++)//先将k个元素放入一个小顶堆中，方便后续用于比较元素的大小{HeapPush(&hp, a[i]);}for (int i = k; i < n; i++)//从第k+1个元素开始，与堆顶元素进行比较，完成TopK问题的主要流程{if (a[i] > HeapTop(&hp))//当前元素比堆顶元素大的时候，将堆顶元素替换为这个元素{HeapTop(&hp);//首先弹出堆顶元素HeapPush(&hp, a[i]);//再将当前元素放入堆中}}while (!HeapEmpty(&hp))//当循环到结束时，这时堆中的元素就是所求的k个元素，将它们先打印再弹出即可、{printf("%d ", HeapTop(&hp));//依次打印元素HeapPop(&hp);//弹出元素}//完成一切工作之后，不要忘了销毁这个堆HeapDestory(&hp);}

时间复杂度

这个算法的时间复杂度可以分为两个部分来分析。
首先，对于前面的循环，它将前k个元素依次插入堆中，插入一个元素的时间复杂度是O(logk)，而循环执行k次，所以这部分的时间复杂度是O(klogk)。
接下来，对于后面的循环，它从第k+1个元素开始，依次与堆顶元素进行比较。如果当前元素比堆顶元素大，就将堆顶元素替换为当前元素，并进行堆的调整。堆的调整操作的时间复杂度是O(logk)。这个循环执行了n-k次，所以这部分的时间复杂度是O((n-k)logk)。
综合起来，这个算法的时间复杂度是O(klogk + (n-k)logk)。从数量级上来看，平均的时间复杂度就是：。

O(nlogk)

需要注意的是，这个算法的时间复杂度是基于堆的操作的时间复杂度，而堆的操作的时间复杂度是基于堆的大小的，即k。因此，这个算法的时间复杂度与k的大小有关。当k较小的时候，算法的时间复杂度较低；当k接近n时，算法的时间复杂度较高。

有序地返回TopK

事实上，如果要求我们有序地返回这k个数的话，我们只需多写一个Sort函数即可。

void HeapSort(int* a, int n)//排序函数
{for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i++){AdjustDown(a, n, i);}int end = n-1;while (end > 0){Swap(&a[end], &a[0]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}//TopK排序版
void TopK_Sort(int* a, int n, int k)
{HeapSort(a, n);//排序完直接返回前k个元素即可for (int i = n - 1; i >= n - k; i--){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");
}