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十六、AVL树

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证 每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1 (需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

上面这两个二叉树都不是AVL树。

AVL树的左右子树都是AVL树，左右子树高度之差(简称平衡因子) 的绝对值不超过1。平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。

这才是AVL树。AVL树是一个高度平衡二叉搜索树。

2. AVL树节点的定义

// AVLTree 节点
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 指向左孩子的指针AVLTreeNode* _left;// 指向右孩子的指针AVLTreeNode* _right;// 指向父节点的指针AVLTreeNode* _parent;// 平衡因子int _bf;// 存储的Key-Value结构数据std::pair<K, V> _kv;// 节点的构造函数AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_kv(kv){}
};

3. AVL树的插入

由于AVL树一颗二叉搜索树，所以我们插入的时候需要根据二叉搜索树的插入方式插入新节点（比父节点小就往左走，比父节点大就往右走，直到找到空节点插入该新节点）， 但是！相比于二叉搜索树，AVL树还有一套自己的规则，他要保证高度需要平衡，所以当我们插入新节点的时候，必须要判断插入后的节点是否会破坏AVL树的平衡。如何判断AVL树是否平衡？保证平衡因子只在 -1 0 1 三个数就行了。

假设我们要插入的新节点在 6号 节点的左侧。由于新节点插入的位置一定是一个 空树 ，所以 新节点的插入导致该侧树的高度 + 1 ，则需要更新一下父节点的平衡因子。

新节点插入在父节点的左侧 —> 父节点的平衡因子 - 1
新节点插入在父节点的右侧 —> 父节点的平衡因子 + 1

重点来了！插入新节点后，难道它就只影响父节点的平衡因子吗？ 它影响的是包含它的所有树！ 即它的祖先节点。我们不能只仅仅修正父节点的平衡因子。我们还需要逐渐向上修正，直到不需要修正为止。
平衡因子的修正有3种情况：
①修正后变成 0 。不管是从-1变成0还是从1变成0，只要是0，说明左右子树高度相等，并且整体树的高度并没有增加，如果以该节点为根节点的树高度并没有增加，那么对于该节点父节点的平衡因子就没有修正的必要。
①修正后变成 1 或 -1 。同理，父节点肯定是从0变过来的，树的高度发生了变化，则父节点的父节点就仍需要修正平衡因子。
①修正后变成 -2 或 2 。由于平衡因子只能是 -1 ，0 ，1 。所以说明此时的树已经不是AVL树了，我们需要对树进行调整来使其恢复成AVL树。调整方法为 旋转 。
插入操作代码：

bool Insert(const std::pair<K, V>& kv)
{// 空树则创建根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 找到新节点应该插入的位置while (cur){// 比父节点小， 往左子树找if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}// 比父节点大， 往右子树找else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 已经存在该值， 插入失败return false;}}cur = new Node(kv);// 父节点指向新节点if (kv.first < parent->_kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;// 新节点指向父节点cur->_parent = parent;// 修正祖先的平衡因子while (parent){// 在树的左子树里插入了新节点 父节点平衡因子减1if (cur == parent->_left)--parent->_bf;// 在树的右子树里插入了新节点 父节点平衡因子加1else++parent->_bf;// 判断修正后的平衡因子是否符合要求if (parent->_bf == 0) break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}// 该树已经不满足AVL树的性质else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转操作break;}// 其他异常情况else assert(false);}// 插入成功return true;
}

注意，旋转后满足条件，需要退出循环。

4. AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能会造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
①左子树高度较高，新节点插入在左子树的左侧 — 左左：使用右单旋。

其中 a，b，c 为子树，h为树的高度。我们需要 将左子树的右子树修改成 60 节点的左孩子，再把 60 节点修改为 30 节点的右孩子， 30 节点则替代原本的 60 节点的位置。如此修正后，AVL树重新平衡，并且 30 节点和 60 节点的平衡因子都会变成 0。
一定要注意的是 ：这里的 h 可能为0！必须要判断 b 子树存不存在！
右单旋代码：

// 左左 --- 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{// 父节点的左孩子Node* subL = parent->_left;// 父节点的左孩子的右孩子Node* subLR = subL->_right;// 父节点的父节点Node* ppnode = parent->_parent;// 修改父节点的指向parent->_left = subLR;parent->_parent = subL;// 修改父节点的左孩子的指向subL->_right = parent;subL->_parent = ppnode;// 如果父节点的左孩子的右孩子存在，则修改其指向if (subLR)subLR->_parent = parent;// 修改父节点的父节点的指向if (parent == _root)_root = subL;else if (parent == ppnode->_left)ppnode->_left = subL;elseppnode->_right = subL;// 修正后父节点和父节点的左孩子的平衡因子都会变成 0parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;
}

②右子树高度较高，新节点插入在右子树的右侧 — 右右：使用左单旋。

与 右单旋 同理，只是左右方向相反。
左单旋代码：

// 右右 --- 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{// 父节点的右孩子Node* subR = parent->_right;// 父节点的右孩子的左孩子Node* subRL = subR->_left;// 父节点的父节点Node* ppnode = parent->_parent;// 修改父节点的指向parent->_right = subRL;parent->_parent = subR;// 修改父节点的右孩子的指向subR->_left = parent;subR->_parent = ppnode;// 如果父节点的右孩子的左孩子存在，则修改其指向if (subRL)subRL->_parent = parent;// 修改父节点的父节点的指向if (parent == _root)_root = subR;else if (parent == ppnode->_left)ppnode->_left = subR;elseppnode->_right = subR;// 修正后父节点和父节点的右孩子的平衡因子都会变成 0parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}

①左子树高度较高，新节点插入在左子树的右侧 — 左右：先左单旋再右单旋。
对于左单旋和右单旋，我们已经差不多能够理解了，但是在这种情况下，单纯使用左右单旋已经无法恢复平衡了，但是我们可以使用 双旋 ，先旋转一次使其符合单旋情况。

使用两次旋转就能使其恢复AVL树的性质，所以说我们只需要调用两次单旋函数就可以了吗？非也，虽然树的结构对了，但是我们并没有修正平衡因子。我们可以观察得到：60 节点最终成为了这颗子树的根节点，60 节点的左孩子成为了 30 节点的右孩子， 60 节点的右孩子成为了 90 节点的左孩子。
如果 60 节点的平衡因子在没旋转前是 0，则说明 60 节点就是最新插入的节点。那么 a，b，c，d子树都不存在 所以 30 节点、 60 节点、 90 节点的平衡因子都是 0。
如果 60 节点的平衡因子在没旋转前是 -1，则说明新节点插入到了 60 节点的左子树中。所以最后 c 子树将会比 d 子树高度小1，所以 30 节点和 60 节点的平衡因子都是 0， 90 节点的平衡因子是 1。
如果 60 节点的平衡因子在没旋转前是 1，由上可知， 30 节点的平衡因子是 -1，60 节点和 90 节点的平衡因子都是 0。
先左单旋再右单旋代码：

// 左右 --- 先左后右旋
void RotateLR(Node* parent)
{// 父节点的左孩子Node* subL = parent->_left;// 父节点的左孩子的右孩子Node* subLR = subL->_right;// 记录父节点的左孩子的右孩子(新插入的节点的子树)的平衡因子int bf = subLR->_bf;// 左单旋RotateL(subL);// 右单旋RotateR(parent);// 修正平衡因子subLR->_bf = 0;if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}
}

④右子树高度较高，新节点插入在右子树的左侧 — 右左：先右单旋再左单旋。
可以参考③先左旋再右旋。

先右单旋再左单旋代码：

// 右左 --- 先右后左旋
void RotateRL(Node* parent)
{// 父节点的右孩子Node* subR = parent->_right;// 父节点的右孩子的左孩子Node* subRL = subR->_left;// 记录父节点的右孩子的左孩子(新插入的节点的子树)的平衡因子int bf = subRL->_bf;// 右单旋RotateR(subR);// 左单旋RotateL(parent);// 修正平衡因子subRL->_bf = 0;if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}
}

5. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：① 验证其为二叉搜索树。如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。②验证其为平衡树。每个节点子树高度差的绝对值不超过1，判断节点的平衡因子是否计算正确。
中序遍历：

void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);std::cout << root->_kv.first << "[" << root->_kv.second << "]" << std::endl;_InOrder(root->_right);
}void InOrder()
{_InOrder(_root);
}

判断树是否平衡&&计算平衡因子是否异常：

bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{if (root == nullptr){height = 0;return true;}int HeightLeft = 0, HeightRight = 0;// 左右子树有一个不满足就返回falseif (!_IsBalance(root->_left, HeightLeft) || !_IsBalance(root->_right, HeightRight))return false;// 高度不平衡if (std::abs(HeightLeft - HeightRight) > 1){std::cout << root->_kv.first << "该树不平衡" << std::endl;return false;}// 平衡因子计算错误if (HeightRight - HeightLeft != root->_bf){std::cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << std::endl;   return false;}// 返回该子树的高度height = std::max(HeightLeft, HeightRight) + 1;return true;
}bool IsBalance()
{int height = 0;return _IsBalance(_root, height);
}int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;return std::max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
}int Height()
{return _Height(_root);
}

6. 完整代码+测试

AVLTree.h：

#pragma once#include <utility>
#include <cassert>
#include <iostream>template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode* _left;AVLTreeNode* _right;AVLTreeNode* _parent;// 平衡因子int _bf;std::pair<K, V> _kv;AVLTreeNode(const std::pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const std::pair<K, V>& kv){// 空树则创建根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;// 找到新节点应该插入的位置while (cur){// 比父节点小， 往左子树找if (kv.first < cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}// 比父节点大， 往右子树找else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else{// 已经存在该值， 插入失败return false;}}cur = new Node(kv);// 父节点指向新节点if (kv.first < parent->_kv.first)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;// 新节点指向父节点cur->_parent = parent;// 修正祖先的平衡因子while (parent){// 在树的左子树里插入了新节点 父节点平衡因子减1if (cur == parent->_left)--parent->_bf;// 在树的右子树里插入了新节点 父节点平衡因子加1else++parent->_bf;// 判断修正后的平衡因子是否符合要求if (parent->_bf == 0) break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}// 该树已经不满足AVL树的性质else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转操作if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)RotateR(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)RotateL(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)RotateLR(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)RotateRL(parent);break;}// 其他异常情况else assert(false);}// 插入成功return true;}// 左左 --- 右单旋void RotateR(Node* parent){// 父节点的左孩子Node* subL = parent->_left;// 父节点的左孩子的右孩子Node* subLR = subL->_right;// 父节点的父节点Node* ppnode = parent->_parent;// 修改父节点的指向parent->_left = subLR;parent->_parent = subL;// 修改父节点的左孩子的指向subL->_right = parent;subL->_parent = ppnode;// 如果父节点的左孩子的右孩子存在，则修改其指向if (subLR)subLR->_parent = parent;// 修改父节点的父节点的指向if (parent == _root)_root = subL;else if (parent == ppnode->_left)ppnode->_left = subL;elseppnode->_right = subL;// 修正后父节点和父节点的左孩子的平衡因子都会变成 0parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}// 右右 --- 左单旋void RotateL(Node* parent){// 父节点的右孩子Node* subR = parent->_right;// 父节点的右孩子的左孩子Node* subRL = subR->_left;// 父节点的父节点Node* ppnode = parent->_parent;// 修改父节点的指向parent->_right = subRL;parent->_parent = subR;// 修改父节点的右孩子的指向subR->_left = parent;subR->_parent = ppnode;// 如果父节点的右孩子的左孩子存在，则修改其指向if (subRL)subRL->_parent = parent;// 修改父节点的父节点的指向if (parent == _root)_root = subR;else if (parent == ppnode->_left)ppnode->_left = subR;elseppnode->_right = subR;// 修正后父节点和父节点的右孩子的平衡因子都会变成 0parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}// 左右 --- 先左后右旋void RotateLR(Node* parent){// 父节点的左孩子Node* subL = parent->_left;// 父节点的左孩子的右孩子Node* subLR = subL->_right;// 记录父节点的左孩子的右孩子(新插入的节点的子树)的平衡因子int bf = subLR->_bf;// 左单旋RotateL(subL);// 右单旋RotateR(parent);// 修正平衡因子subLR->_bf = 0;if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;}}// 右左 --- 先右后左旋void RotateRL(Node* parent){// 父节点的右孩子Node* subR = parent->_right;// 父节点的右孩子的左孩子Node* subRL = subR->_left;// 记录父节点的右孩子的左孩子(新插入的节点的子树)的平衡因子int bf = subRL->_bf;// 右单旋RotateR(subR);// 左单旋RotateL(parent);// 修正平衡因子subRL->_bf = 0;if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);std::cout << root->_kv.first << "[" << root->_kv.second << "]" << std::endl;_InOrder(root->_right);}   void InOrder(){_InOrder(_root);}bool _IsBalance(Node* root, int& height){if (root == nullptr){height = 0;return true;}int HeightLeft = 0, HeightRight = 0;if (!_IsBalance(root->_left, HeightLeft) || !_IsBalance(root->_right, HeightRight))return false;if (std::abs(HeightLeft - HeightRight) > 1){std::cout << root->_kv.first << "该树不平衡" << std::endl;return false;}if (HeightRight - HeightLeft != root->_bf){std::cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << std::endl;   return false;}height = std::max(HeightLeft, HeightRight) + 1;return true;}bool IsBalance(){int height = 0;return _IsBalance(_root, height);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return std::max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;}int Height(){return _Height(_root);}
private:Node* _root = nullptr;
};void TestAVLTree1()
{int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };AVLTree<int, int> t;for (auto e : a){t.Insert(std::make_pair(e, e));}t.InOrder();std::cout << t.IsBalance() << std::endl;
}

test.cpp：

#include "AVLTree.h"
#include <iostream>
using namespace std;int main()
{TestAVLTree1();return 0;
}

运行结果：

7. AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$lo{g}_2(N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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未完待续