前言

最近在研究使用序列模型来实现图像任务的深度学习，发现将图像数据转换成序列数据总会存在空间位置信息的损失，而图结构能够提供一个很强大的表征方式，因此希望研究一下如何将其进行进一步的应用。

为了深刻的理解图结构，这里从一个最简单的用最小生成树表示无向图的例子进行切入。

什么是无向图

无向图（Undirected Graph）是一种图结构，在这种图中，边（Edge）没有方向性。换句话说，如果存在一条边连接两个顶点（Vertex），则可以从任意一个顶点到达另一个顶点。无向图通常表示为 ( G = (V, E) )，其中：

• ( V ) 是顶点集合。
• ( E ) 是边集合，由顶点对组成的集合。

在无向图中，边 ( (u, v) ) 表示顶点 ( u ) 和顶点 ( v ) 之间存在一条边，且 ( (u, v) ) 和 ( (v, u) ) 是等价的。

示例

考虑一个无向图 ( G ) ，其顶点集合 ( V = {1, 2, 3, 4} ) ，边集合 ( E = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} )。这个图可以表示为：

    1 -- 2|    |4 -- 3

无向图的特性

1. 对称性：如果边 ( (u, v) ) 存在，则边 ( (v, u) ) 也存在。
2. 度（Degree）：一个顶点的度是连接到该顶点的边的数量。
3. 连通性：如果从图中的任意一个顶点都能到达其他任意一个顶点，则这个图是连通的。

无向图在很多领域都有应用，例如网络拓扑、社交网络分析、生物网络等。

什么是最小生成树

最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称 MST）是无向加权图中的一个子图，它包含图中的所有顶点，并且使得所有边的权重之和最小。换句话说，最小生成树是连接图中所有顶点的权重最小的无环子图。

特性

1. 唯一性：一个无向图可能有多个最小生成树，但对于给定的边权重集合，最小生成树的总权重是唯一的。
2. 连通性：最小生成树必须包含图中的所有顶点，且是连通的。
3. 无环性：最小生成树是无环的，否则可以通过去掉环中的某条边来减少总权重。

应用

最小生成树在许多实际问题中有重要应用，例如：

• 网络设计：设计最小成本的网络连接方案，如电网、通信网络等。
• 集群分析：在数据聚类中，用最小生成树来找到数据点之间的最短连接路径。
• 图像处理：在图像分割中，使用最小生成树来连接像素点。

常见算法

1. Kruskal算法：通过排序所有边并逐步选择不形成环的最小边来构建最小生成树。
2. Prim算法：从一个顶点开始，逐步选择最小边扩展生成树，直到包括所有顶点。

算法思路

对于一个具有n个顶点的无向图，最多有$\frac{n(n-1)}{2}条边$
举一个具有6个顶点的无向图为例

 (0)-1-(1)| \   |  \5  2  3   3|   \ |    \(2)   (3)-1-(5)\    |    /3   2   4\  |  /(4)

这里设置了9条边,将它表示为列表，并且按照边的权重从小到大排序

[
# (顶点1,顶点2,边权重)
(0, 1, 1),
(3, 5, 1),
(0, 3, 2),
(3, 4, 2),
(1, 5, 3),
(1, 3, 3),
(2, 4, 3),
(4, 5, 4),
(0, 2, 5),
]

利用迭代来找出最小的连通图。

第一轮迭代

选择最小边

对于连通分量0，最小的边是(0, 1, 1)
对于连通分量1，最小的边是(0, 1, 1)
对于连通分量2，最小的边是(2, 4, 3)
对于连通分量3，最小的边是(3, 5, 1)
对于连通分量4，最小的边是(3, 4, 2)
对于连通分量5，最小的边是(3, 5, 1)

合并连通分量

选择(0, 1, 1)合并连通分量0和1。

 (0)-1-(1)(2)   (3)  (5)(4)

选择(3, 5, 1)合并连通分量3和5。

 (0)-1-(1)(2)   (3)-1-(5)(4)

选择(3, 4, 2)合并连通分量3和4。

 (0)-1-(1)(2)   (3)-1-(5)|2|(4)

选择(2, 4, 3)合并连通分量2和4。

 (0)-1-(1)(2)   (3)-1-(5)\    |3   2\  |(4)

更新并查集

第二轮迭代

选择最小边

对于连通分量0-1，最小的边是(0, 3, 2)
对于连通分量2-3-4-5，最小的边是(0, 3, 2)

选择(0, 3, 2)合并连通分量0和3。

 (0)-1-(1)\2\ (2)   (3)-1-(5)\    |3   2\  |(4)

更新并查集，发现所有的顶点都已连通，算法结束

算法实现

class UnionFind:def __init__(self, n):self.parent = list(range(n))self.rank = [0] * ndef find(self, u):if self.parent[u] != u:self.parent[u] = self.find(self.parent[u])return self.parent[u]def union(self, u, v):root_u = self.find(u)root_v = self.find(v)if root_u != root_v:if self.rank[root_u] > self.rank[root_v]:self.parent[root_v] = root_uelif self.rank[root_u] < self.rank[root_v]:self.parent[root_u] = root_velse:self.parent[root_v] = root_uself.rank[root_u] += 1def contractive_boruvka(edges, n):uf = UnionFind(n)mst_edges = []mst_weight = 0iteration = 0while len(mst_edges) < n - 1:iteration += 1print(f"Iteration {iteration}:")# 初始化每个组件的最小边min_edge = [-1] * nfor index, (u, v, weight) in enumerate(edges):root_u = uf.find(u)root_v = uf.find(v)if root_u != root_v:if min_edge[root_u] == -1 or edges[min_edge[root_u]][2] > weight:min_edge[root_u] = indexif min_edge[root_v] == -1 or edges[min_edge[root_v]][2] > weight:min_edge[root_v] = index# 收缩每个组件的最小边for edge_index in min_edge:if edge_index != -1:u, v, weight = edges[edge_index]root_u = uf.find(u)root_v = uf.find(v)if root_u != root_v:uf.union(u, v)mst_edges.append((u, v, weight))mst_weight += weightprint(f"  Connecting {u} - {v} with weight {weight}")print(f"  MST so far: {mst_edges}")print()return mst_edges, mst_weight# 示例使用
edges = [# (顶点1,顶点2,边权重)(0, 1, 1),(3, 5, 1),(0, 3, 2),(3, 4, 2),(1, 5, 3),(1, 3, 3),(2, 4, 3),(4, 5, 4),(0, 2, 5),
]
n = 6mst_edges, mst_weight = contractive_boruvka(edges, n)
print("Final MST edges:", mst_edges)
print("Total weight of MST:", mst_weight)