heap【堆】掌握
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手写上浮、下沉、建堆函数
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对一组数进行堆排序
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直接使用接口函数heapq
什么是堆？？？堆是一个二叉树。也就是有两个叉。下面是一个大根堆：
大根堆的每一个根节点比他的子节点都大
有大根堆就有小根堆：
我们可以看到红9在绿9的下一层，大小堆中我们需要注意，【只有根节点对子节点的大小比较】，没有子节点之间的比较。
一、手写函数
def siftup(heap, pos):endpos = len(heap)startpos = posnewitem = heap[pos]# Bubble up the smaller child until hitting a leaf.childpos = 2*pos + 1 # leftmost child positionwhile childpos < endpos:# Set childpos to index of smaller child.rightpos = childpos + 1if rightpos < endpos and not heap[childpos] < heap[rightpos]:childpos = rightpos# Move the smaller child up.heap[pos] = heap[childpos]pos = childposchildpos = 2*pos + 1# The leaf at pos is empty now. Put newitem there, and bubble it up# to its final resting place (by sifting its parents down).heap[pos] = newitem'''up操作只是将孩子提上去，但是没有保证根节点比孩子小，现在比较孩子和父节点，如果父节点更大，往下覆盖孩子节点，并且往上继续，比较上面的父节点，直至到头start，将原来的子节点的值覆盖在此时的父节点上。'''siftdown(heap, startpos, pos)'''up与down一起维持小根堆性质'''
def siftdown(heap, startpos, pos):newitem = heap[pos]# Follow the path to the root, moving parents down until finding a place# newitem fits.while pos > startpos:parentpos = (pos - 1) >> 1parent = heap[parentpos]if newitem < parent:heap[pos] = parentpos = parentposcontinuebreakheap[pos] = newitemdef heappop(heap):"""Pop the smallest item off the heap, maintaining the heap invariant."""lastelt = heap.pop() # raises appropriate IndexError if heap is emptyprint('pop:', lastelt)if heap:returnitem = heap[0]heap[0] = lasteltsiftup(heap, 0)print('heap:', heap)print('returnitem', returnitem)return returnitemreturn lasteltdef heapify(x):"""Transform list into a heap, in-place, in O(len(x)) time."""n = len(x)for i in reversed(range(n//2)):'''从最后一个根节点开始，将孩子节点最小的覆盖根节点，并不断往下找，将较小的孩子提上来。直到没有孩子，将根节点的值覆盖到此时的孩子节点上'''siftup(x, i)def heap_sort(arr):# 将数组转换为小根堆heapify(arr)print(arr)# 弹出堆顶元素直到堆为空'''每次pop最后一个节点，并输出根节点。将最后一个节点覆盖在根节点上，并且进行up——down操作位置小根堆性质'''return [heappop(arr) for _ in range(len(arr))]if __name__ == '__main__':# 示例数组arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]# 执行堆排序sorted_arr = heap_sort(arr)# 打印排序后的数组print('sorted_arr', sorted_arr)二、调用python接口
import heapq
def heap_sort(arr):# 将数组转换为小根堆heapq.heapify(arr)print(arr)# 弹出堆顶元素直到堆为空'''每次pop最后一个节点，并输出根节点。将最后一个节点覆盖在根节点上，并且进行up——down操作位置小根堆性质'''return [heapq.heappop(arr) for _ in range(len(arr))]if __name__ == '__main__':# 示例数组arr = [3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5]# 执行堆排序sorted_arr = heap_sort(arr)# 打印排序后的数组print('sorted_arr', sorted_arr)输出：
[1, 1, 2, 3, 3, 9, 4, 6, 5, 5, 5]
sorted_arr [1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 9]
三、时间复杂度
siftup(heap, pos)函数：
- 这个函数将一个元素上浮到它应该在的位置。在最坏的情况下，它可能需要上浮到堆的根节点，时间复杂度是 O(log n)，其中 n 是堆中元素的数量。
siftdown(heap, startpos, pos)函数：
- 这个函数将一个元素下沉到它应该在的位置。同样，在最坏的情况下，它可能需要下沉到叶子节点，时间复杂度也是 O(log n)。
heappop(heap)函数：
- 这个函数移除并返回堆顶元素（最小元素），然后通过调用
siftup来修复堆。siftup的时间复杂度是 O(log n)，所以heappop的时间复杂度也是 O(log n)。
heapify(x)函数：
- 这个函数将一个数组转换成一个堆。它从最后一个父节点开始，向上调用
siftup。由于堆的最后一个父节点的索引是 n/2 - 1（n 是数组的长度），所以它实际上调用了大约 n/2 次siftup。因此，heapify的时间复杂度是 O(n)。
heap_sort(arr)函数：
- 这个函数首先调用
heapify将数组转换成一个堆，然后通过 n 次调用heappop来移除所有元素。由于heapify的时间复杂度是 O(n)，并且heappop的时间复杂度是 O(log n)，heap_sort的总时间复杂度是 O(n log n)。总结：
- 时间复杂度：
siftup: O(log n)siftdown: O(log n)heappop: O(log n)heapify: O(n)heap_sort: O(n log n)整体上，对于堆排序算法的时间复杂度分析如下
构建堆（Heapify）：
heapify函数将数组转换成一个堆。对于一个长度为 n 的数组，heapify的时间复杂度是 O(n)。这是通过从最后一个父节点开始，向上调用siftup实现的，每个siftup操作的时间复杂度是 O(log n)，但由于堆的结构特性，实际上heapify的总体时间复杂度是线性的。堆排序（Heap Sort）：在
heap_sort函数中，首先调用heapify将数组转换成一个堆，然后通过 n 次调用heappop来移除所有元素。每次heappop操作的时间复杂度是 O(log n)。因此，n 次heappop的总时间复杂度是 O(n log n)。综合以上两点，堆排序的整体时间复杂度是 O(n + n log n)，简化后为 O(n log n)。这是因为在堆排序过程中，构建堆是一次性的，而移除元素需要 n 次操作，每次操作的复杂度是 log n。
- 空间复杂度：O(1)，因为所有操作都是原地进行的。
