隐式导数

前面我们学了如何求这些方程的导数：
$$y=\sqrt{x^3+1}\text{or}y=x\sin x$$
但是如果是下面的方程，又该如何求导呢？
$$x^3+y^3=6xy$$
这个方程的图像是这样的。

假设$y$在$x$是可导的，那么可以应用隐式求导：
$$x^3+[f(x){]}^3=6xf(x)$$

例一
(a) 如果$x^2+y^2=25$, 求$\frac{dy}{dx}$。
(b) 求圆上一点$(3,4)$的切线。

解：
(a) $$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(x^2+y^2)& =\frac{d}{dx}(25)\\ \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)& =0\\ \frac{d}{dx}(x^2)+2y\frac{dy}{dx}& =0\\ 2x+2y\frac{dy}{dx}& =0\\ \frac{dy}{dx}& =-\frac{x}{y}\end{array}$$
(b) $$\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}$$
因此
$$y-4=-\frac{3}{4}(x-3)\text{or}3x+4y=25$$

例二
(a) 如果$x^3+y^3=6xy$，求$y^{\prime }$。
(b) 求点$(3,3)$上的切线。
(c) 在第一象限的哪个点的切线是水平的？

例三 求 $\sin (x+y)=y^2\cos x$ 的导数。

例四 求 $x^4+y^4=16$ 的二次导数。
解：
先求出 $y^{\prime }$
$$4x^3+4y^3{y}^{\prime }=0\Rightarrow y^{\prime }=-\frac{x^3}{y^3}$$
再求 $y^{\prime \prime }$
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =\frac{d}{dx}(-\frac{x^3}{y^3})=-\frac{y^3(d/dx)(x^3)-x^3(d/dx)(y^3)}{(y^3{)}^2}\\ & =-\frac{y^3\cdot 3x^2-x^3(3y^2{y}^{\prime })}{y^6}\end{array}$$
带入 $y^{\prime }$ 就有
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =-\frac{y^3\cdot 3x^2-x^{3}3y^2(-\frac{x^3}{y^3})}{y^6}\\ & =-\frac{3(x^2{y}^4+x^6)}{y^7}=-\frac{3x^2(y^4+x^4)}{y^7}\end{array}$$
因为 $x^4+y^4=16$ 所以
$$y^{\prime \prime }=-\frac{3x^2(16)}{y^7}=-48\frac{x^2}{y^7}$$