【2024_CUMCM】层次分析法

打分法解决评价类问题

主观性较强，根据权重表格计算得分（权重乘以分数再相加）

例题

避免直接权重，会导致多次填写不一致

思想：两两比较推测出权重

判断矩阵

上图是层次分析法的判断矩阵，对角线全为1，（景色，花费）=1/2，表示花费相对景色介于同样重要与稍微重要之间（略微重要）；（花费，居住）=7 ，表示花费比居住强烈重要。

说明

aij，表示与j相比，i的重要程度

正互反矩阵

aij>0 and aij*aji=1 -->正互反矩阵(层次分析法中的判断矩阵）

回到问题，可以构建指标的判断矩阵，指标：景色、居住等

可能出现的问题：矩阵数据的自相矛盾

A=sh；B=bjh;C=gl

A=C,

B<A,B>C,

出现了矛盾 -->转化为一致矩阵

一致矩阵

满足aik=aij*ajk and 正互反矩阵

充要条件

aij>0

对角线全为1

行与行，列与列成比例

注意：在使用判断矩阵求权重时需进行一致性检验

原理：检验判断矩阵与一致性矩阵是否有大都差距

一致性检验步骤

计算一致性指标CI

查找对应的平均随机一致性指标RI

RI会查即可

计算一致性比例

CR=CI/RI

如果CR<0.1，一致性可以接受，否则需修正

一致矩阵计算权重

算数平均法

对列作归一化处理

归一化就是要把需要处理的数据经过处理后（通过某种算法）限制在你需要的一定范围内

简单讲就是每一个元素除以所在列的和

将归一化的各列相加（按行求和）

将相加后的各个向量的每个元素除以n得到权重向量

代码

Sum_A = sum(A); % 计算矩阵A中所有元素的和
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1); % 把Sum_A当成一个元素，生成一个n*1阶矩阵
Stand_A = A ./ SUM_A; % 将A的每个元素除以SUM_A的对应元素——计算每个权重
% './'是逐元素的除法操作符disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2)./n) % 计算矩阵Stand_A的每一行的和，并将结果逐个除以n

几何平均法

代码

Prduct_A = prod(A,2);  % 计算矩阵A的每一列的乘积
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n); % 对于矩阵每一个值开n次方disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A)) % 归一化

特征值法

大致了解原理，计算交给代码

[V,D] = eig(A); % 计算方阵的特征值和特征向量
Max_eig = max(max(D)); % 找出矩阵D中的最大元素，即求出最大特征值
[r,c]=find(D == Max_eig , 1); % 在D中找到等于最大特征值的位置，并返回其行索引r和列索引cdisp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) ) % 计算第c列所有元素的和，然后用元素逐一除以这个和——归一化

（一般选取特征值法），将权重结果填入矩阵

计算个方案得分，利用excel完成更简便

注：这里需要锁定单元格（fn+f4-->锁定单元格），不然无法批量处理

以上是例题解决以及相关内容引入，下面看模型

概念

层次分析法（ The Analytic Hierarchy Process 即 AHP) 是由美国运筹学家、

匹兹堡大学教授 T . L. Saaty 于 20 世纪 70 年代创立的一种系统分析与决策的综合

评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解

决了定性问题定量化的处理过程。

AHP 的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因

素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重

要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用 AHP 进行决策，极大

地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把

复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次

结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体

现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避

决策者主观判断的缺点。