1143. 最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc" 输出：3 解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def" 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000text1和text2仅由小写英文字符组成。
思路 :
动态规划五部曲:
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：下标为[0, i - 1]的字符串text1与下标 为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
为什么不直接用dp[i][j]表示下标为[0,i]的字符串呢?
直接用dp[i][j]表示下标为[0,i]的字符串,就比较难处理dp[i][0]的情况
dp[i][0],dp[0][j]不能套用递推公式 ,如图
如果dp[0][j]==text2[j],j及j以后的位置都是1
如果dp[i][0]==text1[i],i及i以后的位置都是1
2.确定递推公式
text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
这里为什么是dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;而不是
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - 1] + 1,dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])?
因为dp[i - 1][j - 1] + 1一定>=dp[i - 1][j] 并且dp[i - 1][j - 1] + 1一定>=dp[i][j - 1]可以看图理解
text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
3.dp数组初始化
dp[i][0]=0
dp[0][j]=0
4.确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j],所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
5举例推导dp数组
class Solution {public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {int[][] dp = new int[text1.length()+1][text2.length()+1];//初始化//for(int i=1;i<=text1.length();i++){for(int j=1;j<=text2.length();j++){if(text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1)){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}return dp[text1.length()][text2.length()];}
}
1035. 不相交的线
在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足：
-
nums1[i] == nums2[j] - 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4] 输出：2 解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2] 输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1] 输出：2
提示：
1 <= nums1.length, nums2.length <= 5001 <= nums1[i], nums2[j] <= 2000
本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
class Solution {public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];//初始化//for(int i=1;i<=nums1.length;i++){for(int j=1;j<=nums2.length;j++){if(nums1[i-1]==nums2[j-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}return dp[nums1.length][nums2.length];}
}53. 最大子数组和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组
是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1] 输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8] 输出：23
提示：
1 <= nums.length <= 105-104 <= nums[i] <= 104
进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。
思路:
动态规划五部曲:
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
2.确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础
子数组最少包含一个元素
nums[0]即dp[0] = nums[0]。
4.确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5.举例推导dp数组
代码参考:
class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {int[]dp=new int[nums.length];dp[0]=nums[0];int result=dp[0];for(int i=1;i<nums.length;i++){dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);result=Math.max(dp[i],result);}return result;}
}392. 判断子序列
给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。
进阶：
如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, ... , Sk 其中 k >= 10亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？
致谢：
特别感谢 @pbrother 添加此问题并且创建所有测试用例。
示例 1：
输入：s = "abc", t = "ahbgdc" 输出：true
示例 2：
输入：s = "axc", t = "ahbgdc" 输出：false
提示：
0 <= s.length <= 1000 <= t.length <= 10^4- 两个字符串都只由小写字符组成。
思路:
（这道题也可以用双指针的思路来实现，时间复杂度也是O(n)）
动态规划五部曲分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
统一以下标i-1为结尾的字符串来计算，这样在下面的递归公式中会容易理解一些
2.确定递推公式
if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
if (s[i - 1] != t[j - 1]), 那么dp[i][j] = dp[i][j - 1];
3.初始化
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
4.确定遍历顺序
从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右
5.举例
class Solution {public boolean isSubsequence(String s, String t) {int[][] dp=new int[s.length()+1][t.length()+1];for(int i=1;i<=s.length();i++){for(int j=1;j<=t.length();j++){if(s.charAt(i-1)==t.charAt(j-1)){dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}return dp[s.length()][t.length()]==s.length();}
}
