整除分块的题目

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思路：

求1到n中的因数个数和等价于求 $\sum \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ ,设x为因子，就是求x在1到n里出现了几次，求1到n里是x的倍数的数有几个，即n/x。需要用整除分块，n/i的值是分块分部的，右端点是n/（n/i）。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
//#define int long long
//const ll P=2281701377;
const ll P=998244353;
const int mod=1e9+7;void solve(){ll n;cin>>n;ll ans=0;for(int i=1;i*i<=n;i++){ans+=(n/i-i+1)*2-1;}cout<<ans<<endl;
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int t=1;cin>>t;while(t--){solve();}}

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思路：

即求 $\sum \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor*i$ ，在分块的时候n/i是一个定值可以提取出来，然后剩下的就是i的和，这是一个等差数列求和，直接套公式。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned long long ull;
//#define int long long
//const ll P=2281701377;
const ll P=998244353;
const int mod=1e9+7;void solve(){ll n;cin>>n;//1--n  [n/i]ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n,n/(n/l));ans+=(l+r)*(r-l+1)*(n/l)/2;}n=ans,ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n,n/(n/l));ans+=(l+r)*(r-l+1)*(n/l)/2;}cout<<ans<<endl;
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int t=1;//cin>>t;while(t--){solve();}}

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