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第 7 章： 基于表格的 TD 学习算法
本章： 基于函数的 TD 学习算法

神经网络

DQN

8.1 值表示： 表格 ——> 函数

表格：直接重写表中相应的条目
函数：通过更新 $w$ 间接地更改值

优点： 直观，便于分析。
缺点： 难以处理 大的 或 连续的 状态或动作
两个方面：1) 存储； 2) 泛化能力。

有很多的 状态-动作 对， 不可能都访问到。

曲线近似， 节省存储空间。

• 无法精确表示 状态值。

函数近似法通过牺牲精度来提高存储效率。

idea： 使用参数化函数 $\hat{v}(s,w)\approx v_{\pi }(s)$ 近似 状态和动作值，其中 $w\in {\mathbb{R}}^m$ 是参数向量。

优点:
1) 存储 $w$ 的维数可能比 $|\mathcal{S}|$小得多。
2) 泛化：
当一个状态 $s$ 被访问时，参数 $w$ 被更新，这样其他一些未访问状态的值也可以被更新。通过这种方式，学习值 可以推广到 未访问状态。

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8.2 状态值 估计

P2

真实状态值 $v_{\pi }(s)$ 估计值 $\hat{v}(s,w)$

为了找到最优的 $w$，我们需要两个步骤:
1、定义一个目标函数。
2、推导 优化目标函数 的算法。

目标函数： $J(w)=\mathbb{E}[(v_{\pi }(S)-\hat{v}(S,w){)}^2]$

误差 的平方。

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期望是 关于 随机变量 $S\in \mathcal{S}$ 的， 那么 $S$ 的概率分布是什么？

平均分布。 每个 状态的 权重都是 $\frac{1}{|\mathcal{S}|}$

$J(w)=\mathbb{E}[(v_{\pi }(S)-\hat{v}(S,w){)}^2]=\frac{1}{|\mathcal{S}|}\sum _{s\in \mathcal{S}}(v_{\pi }(s)-\hat{v}(s,w){)}^2$

给重要的状态 更大的权重。

平稳分布：稳态分布， 极限分布

马尔可夫过程 的长期行为

在代理执行给定策略足够长的时间后，代理处于任何状态的概率可以用这个平稳分布来描述。

基于策略 $\pi$ 的马尔可夫过程 的平稳分布： { d π ( s ) } s ∈ S \{d_\pi(s)\}_{s\in\mathcal S} {dπ​(s)}s∈S​

$d_{\pi }(s)\ge 0$ 且 $\sum _{s\in \mathcal{S}}{d}_{\pi }(s)=1$

$J(w)=\mathbb{E}[(v_{\pi }(S)-\hat{v}(S,w){)}^2]=\sum _{s\in \mathcal{S}}{d}_{\pi }(s)(v_{\pi }(s)-\hat{v}(s,w){)}^2$

这个函数是加权平方误差。
由于访问频率越高的状态具有更高的 $d_{\pi }(s)$ 值，因此它们在目标函数中的权重也高于 访问频率越低 的状态。

——————
优化目标函数

最小化 梯度下降

用 随机梯度 替换 真实梯度， 避免 计算期望。

$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t(v_{\pi }(s_t)-\hat{v}(s_t,w_t)){\nabla }_w\hat{v}(s_t,w_t)$

问题： $v_{\pi }$ 未知。——> 用 近似值 替换
方式一：基于 MC 学习。 用 episode 中从 $s_t$ 开始的 折扣回报 $g_t$ 替换 $v_{\pi }(s_t)$。
即 $w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t(g_t-\hat{v}(s_t,w_t)){\nabla }_w\hat{v}(s_t,w_t)$
方式二： 基于 TD 学习。
$v_{\pi }(s_t)$。
即 $w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma \hat{v}(s_{t+1},w_t)-\hat{v}(s_t,w_t)]{\nabla }_w\hat{v}(s_t,w_t)$

——————
如何选择 $\hat{v}(s,w)$ ?

方式一： 线性近似。 $\hat{v}(s,w)={\varphi }^T(s)w$

• 特征向量 $\varphi (s)$。 系数

方式二： 非线性 近似。 神经网络。

• 神经网络的输入为 状态， 输出为 $\hat{v}(s,w)$， 网络参数为 $w$。

线性近似的优缺点：
缺点：难以选择合适的特征向量。
优点：易于理解。

表格表示 是 线性函数近似 的 特例。
考虑 状态 $s$ 的特征向量的特殊情况。
$\varphi (s)=e_s\in {\mathbb{R}}^{|\mathcal{S}|}$
$e_s$: 第 $s$th 个数为 1 ， 其它为 0 的向量。
$\hat{v}(s,w)={\varphi }^T(s)w=e_s^{T}w=w(s)$
$w(s)$： $w$ 的 第 $s$th 个数

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例子：

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TD-Linear 算法最小化的是 投影 贝尔曼误差。

P3 Sarsa + 值函数近似

$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma \hat{q}(s_{t+1},a_{t+1},w_t)-\hat{q}(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_w\hat{q}(s_t,a_t,w_t)$

Q 学习 + 函数近似

$w_{t+1}=w_t+{\alpha }_t[r_{t+1}+\gamma \underset{a\in \mathcal{A}(s_{t+1})}{\max }\hat{q}(s_{t+1},a,w_t)-\hat{q}(s_t,a_t,w_t)]{\nabla }_w\hat{q}(s_t,a_t,w_t)$

8.4 Deep Q-leaning 【DQN】

Deep Q-learning、deep Q-network (DQN)

最成功地将 深度神经网络 引入强化学习的算法之一。

应用 和 方法
应用： 在一系列游戏控制上 达到人类控制的水平。
方法： 关键技术 后续被广泛使用。

目标函数：

优化：

我们可以在计算梯度时假设 $y$ 中的 $w$ 是固定的(至少在一段时间内是固定的)。

使用两个网络， 分别 估计 $w$
主网络的 $w$: 一直更新
目标网络的 $w_T$： 隔一段时间 更新

DQN 的基本思想是使用梯度下降算法最小化目标函数。

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2 个重要技巧：

1、两个网络：一个主网络和一个目标网络。
实现细节：
令 $w$ 和 $w_T$ 分别表示主网络和目标网络的参数。它们最初被设置为相同的。
在每次迭代中，我们从重放缓冲区中提取一小批样本 $\{(s,a,r,s^{\prime })\}$。
网络的输入包括状态 $s$ 和动作 $a$，目标输出为 $y_T=r+\gamma \underset{a\in \mathcal{A}(s^{\prime })}{\max }\hat{q}(s^{\prime },a,w_T)$。然后，我们直接最小化 小批次 $\{(s,a,y_T)\}$ 上的 TD 误差或称为损失函数 $(y_T-\hat{q}(s,a,w){)}^2$。

2、经验回放

replay buffer 回放缓冲 $\mathcal{B}=\{(s,a,r,s^{\prime })\}$

每次我们训练神经网络时，我们都可以从回放缓冲区中抽取一小批随机样本。

均匀分布 经验回放。

为什么 DQN 需要经验回放?为什么重播必须遵循均匀分布?

然而，样本并不是统一收集的，因为它们是由某些策略生成的。
为了打破后续样本之间的相关性，我们可以使用经验重放技术，从重放缓冲区中均匀地提取样本。

更充分地使用数据

再强大的算法 也需要 好的数据 才能 work。

8.6

目标函数 涉及到 状态的概率分布， 该分布通常选为 平稳分布。

为什么深度 Q-learning 需要经验回放?
原因在于 (8.37) 中的目标函数。特别是，为了很好地定义目标函数，我们必须指定 $S,A,R,S^{\prime }$ 的概率分布。
当 $(S,A)$ 给定时，由系统模型确定 $R$ 和 $S^{\prime }$ 的分布。
描述 状态-行为对 $(S,A)$ 分布的最简单方法是假设它是均匀分布的。然而，状态-动作样本在实践中可能不是均匀分布的，因为它们是由行为策略作为一个序列生成的。为了满足均匀分布的假设，有必要打破序列中样本之间的相关性。为此，我们可以使用经验重放技术，从重放缓冲区中均匀地抽取样本。经验回放的一个好处是，每个经验样本可以被多次使用，这可以提高数据效率。

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习题笔记

表格表示 可以看作是 函数表示 的特例

难以直接计算目标函数的梯度：先固定目标函数中的一部分，这样求解梯度更容易。