• 参考：
  • BN究竟起了什么作用？一个闭门造车的分析
  • 《动手学深度学习》7.5 节

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• 深度学习中，归一化是常用的稳定训练的手段，CV 中常用 Batch Norm； Transformer 类模型中常用 layer norm，而 RMSNorm 是近期很流行的 LaMMa 模型使用的标准化方法，它是 Layer Norm 的一个变体

• 值得注意的是，这里所谓的归一化严格讲应该称为 标准化Standardization ，它描述一种把样本调整到均值为 0，方差为 1 的缩放平移操作。归一化、标准化、正则化等术语常常被混用，可以看 标准化、归一化概念梳理（附代码） 这篇文章理清

• 详细讨论前，先粗略看一下 Batch Norm 和 Layer Norm 的区别
  

  1. BatchNorm是对整个 batch 样本内的每个特征做归一化，这消除了不同特征之间的大小关系，但是保留了不同样本间的大小关系。BatchNorm 适用于 CV 领域，这时输入尺寸为 $b\times c\times h\times w$ (批量大小x通道x长x宽)，图像的每个通道 $c$ 看作一个特征，BN 可以把各通道特征图的数量级调整到差不多，同时保持不同图片相同通道特征图间的相对大小关系
  2. LayerNorm是对每个样本的所有特征做归一化，这消除了不同样本间的大小关系，但是保留了一个样本内不同特征之间的大小关系。LayerNorm 适用于 NLP 领域，这时输入尺寸为 $b\times l\times d$ (批量大小x序列长度x嵌入维度)，如下图所示
     

  注意这时长 $l$ 的 token 序列中，每个 token 对应一个长为 $d$ 的特征向量，LayerNorm 会对各个 token 执行 $l$ 次归一化计算，保留每个 token $d$ 维嵌入内部的相对大小关系，同时拉近了不同 token 对应特征向量间的距离。与之相比，BN 会消除 $d$ 维特征向量各维度之间的大小关系，破坏了 token 的特征（以下第 2 节会进一步说明这一点）

1. Batch Normalization

1.1 原理

• BN 对同一 batch 内同一通道的所有数据进行归一化，设输入的 batch data 为 $x$，BN 运算如下
  $$\mathrm{BN}(\mathbf{x})=\mathbf{\gamma }\odot \frac{\mathbf{x}-{\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathcal{B}}}{{\hat{\mathbf{\sigma }}}_{\mathcal{B}}}+\mathbf{\beta }.$$ 其中 $\odot$ 表示按位置乘，$\gamma$ 和 $\beta$ 是 拉伸参数scale 和 偏移参数shift，这两个参数的 size 和特征维数相同，代表着把第 $i$ 个特征的 batch 分布的均值和方差移动到 ${\beta }^i,{\gamma }^i$，$\gamma$ 和 $\beta$ 是需要与其他模型参数一起学习的参数。${\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathcal{B}}$ 和 ${\hat{\mathbf{\sigma }}}_{\mathcal{B}}$ 表示 batch data 中各特征的均值和方差，如下计算
  $$\begin{array}{rl}{\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathcal{B}}& =\frac{1}{|\mathcal{B}|}\sum _{\mathbf{x}\in \mathcal{B}}\mathbf{x}\\ {\hat{\mathbf{\sigma }}}_{\mathcal{B}}^2& =\frac{1}{|\mathcal{B}|}\sum _{\mathbf{x}\in \mathcal{B}}{\left(\mathbf{x}-{\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathcal{B}}\right)}^2+ϵ\end{array}$$ 注意我们在方差估计值中添加一个小的常量 $ϵ$，以确保我们永远不会尝试除以零

• 注意一些细节

  1. 在 MLP 中应用 BN 时，均值和方差的计算发生在各个特征维度上。此时输入数据形式通常为 $x\in {\mathbb{R}}^{b\times n}$，其中 $b=|\mathcal{B}|$ 为 batch size，$n$ 为特征维度，有 ${\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathcal{B}},{\hat{\mathbf{\sigma }}}_{\mathcal{B}}^2,\gamma ,\beta \in {\mathbb{R}}^{1\times n}$

  2. 在 CNN 中应用 BN 时，均值和方差的计算发生在各个通道上。此时输入数据形式通常为 $x\in {\mathbb{R}}^{b\times c\times h\times w}$，其中 $b=|\mathcal{B}|$ 为 batch size，$c,h,w$ 分别为为通道数量和图像长宽尺寸，有${\hat{\mathbf{\mu }}}_{\mathcal{B}},{\hat{\mathbf{\sigma }}}_{\mathcal{B}}^2,\gamma ,\beta \in {\mathbb{R}}^{1\times c\times 1\times 1}$，如下图所示
     

  3. BN 层在”训练模式“（通过小批量统计数据规范化）和“预测模式”（通过数据集统计规范化）中的功能不同。 训练过程中，我们无法得知使用整个数据集来估计平均值和方差，所以只能根据每个小批次的平均值和方差不断训练模型；预测模式下，可以根据整个数据集精确计算批量规范化所需的平均值和方差

• BatchNorm是一种在深度学习训练中广泛使用的归一化技术，有很多好处，包括正则化效应、减少过拟合、减少对权重初始值的依赖、允许使用更高的学习率等

  • 一方面，BN 使每一层隐藏值分布主动居中，并将它们重新调整为学习到的最佳均值和方差，这种操作可能将参数的量级进行了统一，因此直觉上往往被认为可以使优化更加平滑
  • 另一方面，BN 有效性的科学性解释一度存在争议。15 年提出BN的论文声称 BN 减小了所谓的 内部协变量偏移internal covariate shift，因此可以提高模型性能，但其分析中假设了每层隐变量值都服从某种正态分布，这个假设过强了，很多后续研究指出了其问题。18 年的论文 How Does Batch Normalization Help Optimization? 认为 BN 的主要作用是使得整个损失函数的 landscape 更为平滑，从而使得我们可以更平稳地进行训练。相关分析可以参考苏神的博文

• 示例代码参考自《动手学深度学习》7.5 节，适用于全连接层和卷积层，训练过程中使用滑动平均法计算 batch 数据的均值和方差；评估过程中使用最新的均值和方差结果

  class BatchNorm(nn.Module):# num_features：完全连接层的输出数量或卷积层的输出通道数。def __init__(self, num_features, num_dims):super().__init__()if num_dims == 2: # 全连接层shape = (1, num_features)else:             # 卷积层shape = (1, num_features, 1, 1)# 参与求梯度和迭代的拉伸和偏移参数，分别初始化成1和0self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(shape))self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(shape))# 非模型参数的变量初始化为0和1self.moving_mean = torch.zeros(shape)self.moving_var = torch.ones(shape)def batch_norm(self, X, gamma, beta, moving_mean, moving_var, eps, momentum):if not torch.is_grad_enabled():# 如果是在预测模式下，直接使用传入的移动平均所得的均值和方差X_hat = (X - moving_mean) / torch.sqrt(moving_var + eps)else:assert len(X.shape) in (2, 4)if len(X.shape) == 2:# 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差mean = X.mean(dim=0)                                       # (num_features,)var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)                        # (num_features,)else:# 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)                # (1,num_features,1,1) 保持X的形状，以便后面可以做广播运算var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True) # (1,num_features,1,1)# 训练模式下，用当前的均值和方差做标准化X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps)# 更新移动平均的均值和方差moving_mean = momentum * moving_mean + (1.0 - momentum) * meanmoving_var = momentum * moving_var + (1.0 - momentum) * varY = gamma * X_hat + beta  # 缩放和移位return Y, moving_mean.data, moving_var.datadef forward(self, X):# 如果X不在内存上，将moving_mean和moving_var，复制到X所在显存上if self.moving_mean.device != X.device:self.moving_mean = self.moving_mean.to(X.device)self.moving_var = self.moving_var.to(X.device)# 保存更新过的moving_mean和moving_varY, self.moving_mean, self.moving_var = self.batch_norm(X, self.gamma, self.beta, self.moving_mean,self.moving_var, eps=1e-5, momentum=0.9)return Y
  

2. Layer Normalization

• LN 主要用于 NLP 领域，它对每个 token 的特征向量进行归一化计算。设某个 token 的特征向量为 $x\in {\mathbb{R}}^d$，LN 运算如下
  $$\mathrm{LN}(\mathbf{x})=\mathbf{\gamma }\odot \frac{\mathbf{x}-\hat{\mathbf{\mu }}}{\hat{\mathbf{\sigma }}}+\mathbf{\beta }.$$ 其中 $\odot$ 表示按位置乘，$\gamma ,\beta \in {\mathbb{R}}^d$ 和 是 拉伸参数scale 和 偏移参数shift，代表着把第 $i$ 个特征的 batch 分布的均值和方差移动到 ${\beta }^i,{\gamma }^i$，$\gamma$ 和 $\beta$ 是需要与其他模型参数一起学习的参数。$\hat{\mathbf{\mu }}$ 和 $\hat{\mathbf{\sigma }}$ 表示特征向量所有元素的均值和方差，如下计算
  $$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{\mu }}& =\frac{1}{d}\sum _{x^i\in \mathbf{x}}{x}^i\\ {\hat{\mathbf{\sigma }}}^2& =\frac{1}{d}\sum _{x^i\in \mathbf{x}}{\left(x^i-\hat{\mathbf{\mu }}\right)}^2+ϵ\end{array}$$ 注意我们在方差估计值中添加一个小的常量 $ϵ$，以确保我们永远不会尝试除以零

• 给定一个长 $l$ 的句子，LN 要进行 $l$ 次归一化计算，之后对每个特征维度施加统一的拉伸和偏移，如下图所示
  

• 为什么 LN 比 BN 更适用于 Transformer 类模型呢，这是因为 transformer 模型是基于相似度的，把序列中的每个 token 的特征向量进行归一化有利于模型学习语义，第一步调整均值方差时，相当于对把各个 token 的特征向量缩放到统一的尺度，第二步施加 $\gamma ,\beta$ 时，相当于对所有 token 的特征向量进行了统一的 transfer，这不会破坏 token 特征向量间的相对角度，因此不会破坏学到的语义信息。与之相对的，BN 沿着特征维度进行归一化，这时对序列中各个 token 施加的 transfer 是不同的，破坏了 token 特征向量间的相对角度关系

• Transformer 类模型中，LayerNorm 层有两种放置方式
  $$\begin{gathered} \text{Pre Norm:}{\mathbf{x}}_{t+1}={\mathbf{x}}_t+F_t\left(\mathrm{Norm}\left({\mathbf{x}}_t\right)\right) \\ \text{Post Norm:}{\mathbf{x}}_{t+1}=\mathrm{Norm}\left({\mathbf{x}}_t+F_t\left({\mathbf{x}}_t\right)\right) \end{gathered}$$ 如下图所示
  

  目前比较明确的结论是：同一设置之下，Pre Norm结构往往更容易训练，但最终效果通常不如Post Norm

  1. Pre Norm 更容易训练好理解，因为它的恒等路径更突出
  2. Pre Norm 中多层叠加的结果更多是增加宽度而不是深度，层数越多，这个层就越“虚”，这是因为 Pre Norm 结构无形地增加了模型的宽度而降低了模型的深度，而我们知道深度通常比宽度更重要，所以是无形之中的降低深度导致最终效果变差了。而 Post Norm 刚刚相反，它每Norm一次就削弱一次恒等分支的权重，所以 Post Norm 反而是更突出残差分支的，因此Post Norm中的层数更加有分量，起到了作用，一旦训练好之后效果更优。详细说明参考 为什么Pre Norm的效果不如Post Norm？

• 过去 BERT 主流的时代往往使用 Post Norm，现在 GPT 时代模型规模都很大，因此大多用 Pre Norm 来稳定训练

3. RMSNorm

• RMSNorm 是 LayerNorm 的一个简单变体，来自 2019 年的论文 Root Mean Square Layer Normalization，被 T5 和当前流行 lamma 模型所使用。其提出的动机是 LayerNorm 运算量比较大，所提出的RMSNorm 性能和 LayerNorm 相当，但是可以节省7%到64%的运算
• RMSNorm和LayerNorm的主要区别在于RMSNorm不需要同时计算均值和方差两个统计量，而只需要计算均方根 Root Mean Square 这一个统计量，公式如下
  $$\text{RMSNorm}(x)=\mathbf{\gamma }\odot \frac{x}{\mathrm{RMS}(x)}\text{where }\mathrm{RMS}(x)=\sqrt{\frac{1}{d}\sum _{x^i\in \mathbf{x}}{x}_i^2+ϵ}$$
• 论文 Do Transformer Modifications Transfer Across Implementations and Applications? 中做了比较充分的对比实验，显示出RMS Norm的优越性。一个直观的猜测是，计算均值所代表的 center 操作类似于全连接层的 bias 项，储存到的是关于预训练任务的一种先验分布信息，而把这种先验分布信息直接储存在模型中，反而可能会导致模型的迁移能力下降
• 下面给出 Transformer Lamma 源码中实现的 RMSNorm

  class LlamaRMSNorm(nn.Module):def __init__(self, hidden_size, eps=1e-6):"""LlamaRMSNorm is equivalent to T5LayerNorm"""super().__init__()self.weight = nn.Parameter(torch.ones(hidden_size))self.variance_epsilon = epsdef forward(self, hidden_states):input_dtype = hidden_states.dtypehidden_states = hidden_states.to(torch.float32)variance = hidden_states.pow(2).mean(-1, keepdim=True)hidden_states = hidden_states * torch.rsqrt(variance + self.variance_epsilon)return self.weight * hidden_states.to(input_dtype)