「动态规划」如何求最长递增子序列的长度?

300. 最长递增子序列icon-default.png?t=N7T8https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/description/

给你一个整数数组nums,找到其中最长严格递增子序列的长度。子序列是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7]是数组[0,3,1,6,2,2,7]的子序列。

  1. 输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18],输出:4,解释:最长递增子序列是[2,3,7,101],因此长度为4。
  2. 输入:nums = [0,1,0,3,2,3],输出:4。
  3. 输入:nums = [7,7,7,7,7,7,7],输出:1。

提示:1 <= nums.length <= 2500,-10^4 <= nums[i] <= 10^4。

进阶:你能将算法的时间复杂度降低到O(nlog(n))吗?


我们用动态规划的思想来解决这个问题。

确定状态表示:根据经验和题目要求,我们用dp[i]表示:以i位置为结尾的所有子序列中,最长递增子序列的长度

推导状态转移方程:以i位置为结尾的所有子序列分为2类:长度为1的子序列,长度大于1的子序列。如果子序列的长度是1,那么这个子序列是递增子序列。下面我们考虑长度大于1的子序列。

如果以i位置为结尾的子序列的长度大于1,我们可以继续细分为:i位置元素的前面是i - 1位置元素的子序列,i位置元素的前面是i - 2位置元素的子序列,i位置元素的前面是i - 3位置元素的子序列,……,i位置元素的前面是0位置元素的子序列。也就是说,如果子序列中,i位置元素的前面是j位置元素,那么j的范围是[0, i - 1]。

对于每一个j,如果nums[j] < nums[i],那么这个子序列就有可能是递增子序列。要想这个子序列尽可能得长,就要找到以j位置为结尾的最长递增子序列,在这个子序列后面添加nums[i],即为以i位置为结尾的最长递增子序列。

综上所述,dp[i]应该取:「1」和「所有满足0 <= j < i并且nums[j] < nums[i]的j中,最大的dp[j]加1」的较大值。

所以,我们可以把dp表的值都初始化为1,其中dp[0] = 1是显然的。如果i > 0,那么dp[i]就应该取:所有满足0 <= j < i并且nums[j] < nums[i]的j中,最大的dp[j]加1

填表顺序:根据状态转移方程,显然应从左往右填表

返回值:根据状态表示,应返回dp表的最大值

细节问题:dp表的规模和nums相同,均为1 x n

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();// 创建dp表vector<int> dp(n, 1);// 填表for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[j] < nums[i]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}}return *max_element(dp.begin(), dp.end());}
};

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