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大学物理（下）笔记

部分常用物理常量的计算值

$Chapter9$ 恒定磁场

毕奥-萨伐尔定律

  磁场和电场在很多性质上是有共性的，很多时候可以拿它们两个相互对比。
  恒定磁场最基础的公式是毕奥-萨伐尔定律：
$$\text{d}\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\text{d}\mathbf{l}\times {\mathbf{e}}_r}{r^2}\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

  ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$，这个常数可以记忆一下。基于此，我们能够计算到电流为$I$的长直载流导线在距离其为$r$处激发的磁场为
$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r}(\cos {\phi }_1-\cos {\phi }_2)\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

  其中${\phi }_1,{\phi }_2$是该点与导线两端的连线和导线所成的夹角。无限长直载流导线激发的磁场，其实就是$(9.1)$式在${\phi }_1=0,{\phi }_2=\pi$时的情况：
$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

  通过毕奥-萨伐尔定律，还能够算得半径为$R$的圆环电流$I$在其轴线上坐标为$x$的点处产生的磁场大小
$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

  这个能够自行推导，感觉就足够了，倒也不是特别好记。

磁偶极子

  磁偶极子可以认为是一个平面环形电流，只有当这个环的线度在问题中可以忽略时，才能把它作为磁偶极子处理。
  这很容易让我们联想到电偶极子。两者之间的对比如下：

  电偶极子在电场中受到力矩作用，达到稳定平衡状态时电矩与电场方向相同，能够解释有极分子的取向极化；磁偶极子在磁场中受到力矩作用，达到稳定平衡状态时磁矩与磁场方向相同，能够解释顺磁质的磁化。

磁场的高斯定理与安培环路定理

  磁场的高斯定理
$${\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0\text{\hspace{1em}(9.5)}$$

  说明磁场是无源场，这在本质上是因为不存在所谓“磁单极子”或者叫做“磁荷”的东西。而静电场是由“电荷”所激发的，所以静电场是有源场：
$${\oint }_S\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{q}{{\epsilon }_0}\text{\hspace{1em}(9.6)}$$

  在恒定磁场中，安培环路定理也经常被应用：
$${\oint }_L\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}={\mu }_{0}I\text{\hspace{1em}(9.7)}$$

洛伦兹力与安培力

  主要想谈谈其矢量式中各个量摆放顺序的问题。
  洛伦兹力
$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}\text{\hspace{1em}(9.8)}$$

  安培力
$$\mathbf{F}=I\mathbf{L}\times \mathbf{B}\text{\hspace{1em}(9.9)}$$

  观察$(9.8)$式和$(9.9)$式，发现它们都能写成“电量·运动量×场量”的形式。其中粗体为矢量。

磁化强度$\mathbf{M}$与磁场强度$\mathbf{H}$

  我们通常习惯于用磁感应强度$\mathbf{B}$来描述磁场，用电场强度$\mathbf{E}$来描述电场。当电磁场中存在介质的时候，这种描述方法是不好的。
  磁化强度$\mathbf{M}$与磁场强度$\mathbf{H}$是为了研究磁介质的磁化，在磁感应强度$\mathbf{B}$的基础上上又增加的两个磁场量。在研究电介质的极化时也曾引入电极化强度$\mathbf{P}$和电位移矢量$\mathbf{D}$.下面对这些量进行对比分析。

磁化强度$\mathbf{M}$与电极化强度$\mathbf{P}$

  磁化强度$\mathbf{M}$的定义与电极化强度$\mathbf{P}$的定义式非常相似：

$$\mathbf{M}=\frac{\sum _{i=1}^n{\mathbf{m}}_i}{\Delta V}\mathbf{P}=\frac{\sum _{i=1}^n{\mathbf{p}}_i}{\Delta V}\text{\hspace{1em}(9.10)}$$

  磁化强度$\mathbf{M}$描述磁介质受到磁化的情况，而磁介质磁化时伴有磁化电流$I^{\prime }$.所以这两者还是有联系的：
$${\oint }_L\mathbf{M}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\sum I^{\prime }\text{\hspace{1em}(9.11)}$$

  其中，$\sum I^{\prime }$表示穿过环路$L$的所有磁化电流之和。
  类似地，电极化强度$\mathbf{P}$描述电介质在外电场中产生的极化情况，而电介质极化时会产生束缚电荷$q^{\prime }$.这两者有如下的联系：
$${\oint }_S\mathbf{P}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=-\sum q^{\prime }\text{\hspace{1em}(9.12)}$$

  其中，$\sum q^{\prime }$表示高斯面$S$内所有的束缚电荷之和。式$(9.11)$与$(9.12)$在形式上非常相似，需要注意的是式$(9.12)$多出了一个负号。

磁场强度$\mathbf{H}$和电位移矢量$\mathbf{D}$

  磁场强度$\mathbf{H}$，给我带来的直观感受是，它是磁感应强度$\mathbf{B}$在磁介质存在情况下，为了保证某种连续性而定义的表征磁场的量。这是它的定义式
$$\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{{\mu }_r{\mu }_0}=\frac{\mathbf{B}}{\mu }\text{\hspace{1em}(9.13)}$$

  可以看到，连接磁场强度$\mathbf{H}$与磁感应强度$\mathbf{B}$的桥梁是磁导率$\mu$.
  在没有磁介质的情况下，磁感应强度$\mathbf{B}$在空间内是连续的，因此磁感线也是连续的。但是，在有磁介质的情况下，磁感应强度矢量$\mathbf{B}$将会失去它的空间连续性，也就是说，$\mathbf{B}$会在不同磁介质的交界处发生跳变。这一跳变是不同的磁导率造成的。不过这个时候$\mathbf{H}$却具有空间连续性，因此用它描述磁场是比较理想的。
  当然，对于电场强度$\mathbf{E}$和电极化强度$\mathbf{D}$来说，上面的性质也是成立的。在空间中存在电介质的情况下，$\mathbf{E}$的空间连续性将失去，$\mathbf{D}$的空间连续性将被保留。教材中对于$\mathbf{D}$的引入是下式：
$$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}\text{\hspace{1em}(9.14)}$$

  我认为这样的引入很不妥当。可以给出类似式$(9.13)$的定义：
$$\mathbf{D}={\epsilon }_r{\epsilon }_0\mathbf{E}=\epsilon \mathbf{E}\text{\hspace{1em}(9.15)}$$

  从式$(9.15)$能够看到，电位移矢量$\mathbf{D}$与电场强度$\mathbf{E}$之间是通过介电常数$\epsilon$联系起来的。
  此外，我们发现磁场强度$\mathbf{H}$与磁化强度$\mathbf{M}$具有相同的量纲，实际上也有积分式
$${\oint }_L\mathbf{H}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\sum I\text{\hspace{1em}(9.16)}$$

  其中，$\sum I$表示穿过环路$L$的所有传导电流之和。我们大致能够得出这样的结论：$\mathbf{H}$描述的是空间某点本来的磁场，$\mathbf{M}$描述这一点由磁介质产生的磁场，$\mathbf{B}$是由前面两个磁场叠加得到的、描述该点实际磁场情况的物理量。这正如式$(9.17)$所描述的那样。
$${\oint }_L(\mathbf{H}+\mathbf{M})\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\sum (I+I^{\prime })={\oint }_L\frac{\mathbf{B}}{{\mu }_0}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(9.17)}$$

  类似地，在存在电介质的电场中，我们也有式$(9.18)$和式$(9.19)$.
$${\oint }_S\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\sum q\text{\hspace{1em}(9.18)}$$

$${\oint }_S(\mathbf{D}-\mathbf{P})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\sum (q+q^{\prime })={\oint }_S{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(9.19)}$$

  式$(9.18)$中，$\sum q$表示高斯面$S$内所有的自由电荷之和。

磁化电流面密度

  首先应指出，电流面密度不是电流密度。通常意义上的电流$I$单位是$\mathrm{A}$，流过一根直线，沿着电流垂面方向截得一个点。电流流过一个平面时，沿着电流垂面方向截得一条直线，因此用电流面密度$i$描述，单位$A/m$.电流流过一个立体时，沿电流垂面方向截得一个平面，因此用电流密度$j$描述，单位$A/{\mathrm{m}}^2$.
  磁化电流是上面的第二种，用磁化电流面密度$i_{\mathrm{m}}$描述。一般要求$i_{\mathrm{m}}$有两种思路，第一种是根据定义：
$$i_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}L}=\frac{I}{L}\text{\hspace{1em}(9.20)}$$

  其中$i_{\mathrm{m}}=\frac{I}{L}$只适合于电流沿$L$均匀分布的情况。如果题目中给出了，或者可以求得磁化强度$\mathbf{M}$，也可以采用第二种求法：
$${\mathbf{i}}_{\mathrm{m}}={\mathbf{M}\times \mathbf{e}}_{\mathrm{n}}\text{\hspace{1em}(9.21)}$$

  其中${\mathbf{e}}_{\mathrm{n}}$是磁介质表面法向单位矢量。此时磁化电流面密度的大小$i_{\mathrm{m}}=M$.

$Chapter10$ 电磁感应

感应电动势

  电源电动势，是非静电场场强${\mathbf{E}}_{\mathrm{k}}$从负极到正极的曲线积分：
$$\mathcal{E}={\int }_{-}^{+}{\mathbf{E}}_{\mathrm{k}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(10.1)}$$

  比如动生电动势的情况下，就有${\mathbf{E}}_{\mathrm{k}}=\mathbf{v}\times \mathbf{B}$，此时的非静电力是洛伦兹力。有些情况这种非静电力分散在回路的各个角落，分不清电源正负极，那么
$$\mathcal{E}={\oint }_L{\mathbf{E}}_{\mathrm{k}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}\text{\hspace{1em}(10.2)}$$

  沿着闭合回路积分即可。动生电动势中，如果金属导体本身构成了回路，就适用式$(10.2).$感生电动势也属于这种情况，非静电场是感应电场，感应电动势分布在导体的各个部分。
  感应电场具有有旋场的性质，是一个非保守场，当然不能引入电势的概念。但是，对于感应电场中的导体，我们仍然可以研究导体上$a$点与$b$点的电势差是多少，因为这里的“电势”是针对导体内部电场而言的，由于导体电阻的压降，其内部的电场仍然是一个保守场。
  不过，所求的电动势如果是感应电动势的话，除了电动势的定义，也不要忘掉唯一真神——法拉第电磁感应定律：
$${\mathcal{E}}_{\mathrm{i}}=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(10.3)}$$

  如果导体构成的回路不随时间变化，即$S$是常量，那么式$(10.3)$也可以写成：
$${\mathcal{E}}_{\mathrm{i}}=-\int \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\text{\hspace{1em}(10.4)}$$

  这个在感生电动势中使用得比较多。

磁场能量

  和电场一样，磁场本身也具有能量。

麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equations）

  麦克斯韦方程组的前两式表示了电场、磁场本身的特性。电场有源，磁场无源：
$${\oint }_S\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\sum q={\int }_V\rho \mathrm{d}V\text{\hspace{1em}(10.5)}$$

$${\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=0\text{\hspace{1em}(10.6)}$$

  式Ⅲ是经典的“磁生电”：
$${\oint }_L\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\text{\hspace{1em}(10.7)}$$

  个人感觉麦克斯韦方程组的核心是位移电流概念的引入。空间中电位移矢量的变化$\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$（单位$A/{\mathrm{m}}^2$）具有和传导电流$I$一样的磁效应，从而修正了安培环路定理：
$${\oint }_L\mathbf{H}\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=I+I_d={\int }_S\left(\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\text{\hspace{1em}(10.8)}$$

  这是方程组的式Ⅳ，定量描述“电生磁”。
  同时，注意位移电流是真实存在的。意思不是说位移电流是一种真正意义上的电流，这是一个比较抽象的事情。

$Chapter11$ 振动与波动

频率相同、方向垂直的简谐运动合成

  运动可以用参数方程描述：
$$\{\begin{array}{l}x=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)\\ y=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.1)}$$

  我们已经知道消去$t$后的运动方程是
$$\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1{A}_2}\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)={\sin }^2({\phi }_2-{\phi }_1)\text{\hspace{1em}(11.2)}$$

  可以是这样推导的。记${\theta }_1=\omega t+{\phi }_1,{\theta }_2=\omega t+{\phi }_2$.
$$\begin{array}{rl}{\sin }^2({\phi }_2-{\phi }_1)& ={\sin }^2({\theta }_2-{\theta }_1)\\ & =(\sin {\theta }_2\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2\sin {\theta }_1{)}^2\\ & =(1-{\cos }^2{\theta }_2){\cos }^2{\theta }_1+(1-{\cos }^2{\theta }_1){\cos }^2{\theta }_2-2\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\\ & ={\cos }^2{\theta }_1+{\cos }^2{\theta }_2-2\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2(\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)\\ & =\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1{A}_2}\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)\\ & =\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1{A}_2}\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

阻尼振动

  阻尼振动的方程为
$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+2\beta \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+{\omega }_0^{2}x=0\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

  书上只说明了在弱阻尼情况下$(\beta <{\omega }_0)$的通解：
$$x=A_0{\mathrm{e}}^{-\beta t}\cos \left(\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}t+{\phi }_0\right)\text{\hspace{1em}(11.5)}$$

  实际上我们可以对微分方程$(11.4)$进行求解。它的特征方程是：
$${\lambda }^2+2\beta \lambda +{\omega }_0^2=0\text{\hspace{1em}(11.6)}$$

  这是一个一元二次方程，判别式$\Delta =4({\beta }^2-{\omega }_0^2)$.
  在弱阻尼$(\beta <{\omega }_0)$情况下，$\Delta <0$，记$\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}$，式$(11.6)$有共轭复根
$${\lambda }_{1,2}=-\beta \pm \omega \mathrm{i}\text{\hspace{1em}(11.7)}$$

  从而得到$(11.4)$的解为$x={\mathrm{e}}^{-\beta t}(C_1\cos \omega t+C_2\sin \omega t)$.这一形式同式$(11.5)$.
  在过阻尼$(\beta >{\omega }_0)$情况下，$\Delta >0$，记${\omega }^{\prime }=\sqrt{{\beta }^2-{\omega }_0^2}$，式$(11.6)$有两根
$${\lambda }_{1,2}=-\beta \pm {\omega }^{\prime }\text{\hspace{1em}(11.8)}$$

  此时运动方程$(11.4)$的解的形式为
$$x={\mathrm{e}}^{-\beta t}(A_1{\mathrm{e}}^{{\omega }^{\prime }t}+A_2{\mathrm{e}}^{-{\omega }^{\prime }t})\text{\hspace{1em}(11.9)}$$

  在临界阻尼$(\beta ={\omega }_0)$情况下，$\Delta =0$，此时$(11.6)$有重根
$${\lambda }_{1,2}=-\beta \text{\hspace{1em}(11.10)}$$

  也可以由此得到运动方程$(11.4)$的解为
$$x={\mathrm{e}}^{-\beta t}(A_0+A_{1}t)\text{\hspace{1em}(11.11)}$$

  可以统一$(11.4)$的解的形式为$x={\mathrm{e}}^{-\beta t}f(t)$.临界阻尼情况下的$f(t)$是多项式，过阻尼情况下的$f(t)\sim {\mathrm{e}}^{|{\omega }^{\prime }|t}$ 是指数阶，所以临界阻尼衰减得比过阻尼快。

波的能量

  机械波$y(x,t)=A\cos [\omega (t-\frac{x}{u})+\phi ]$在密度为$\rho$的介质中传播时，在任意时刻，某一质元的动能和势能都是相等的。
  波的平均能量密度$\overline{w}=\frac{1}{2}\rho A^2{\omega }^2$.
  波的平均能流密度$I=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho A^2{\omega }^{2}u$.

多普勒效应

  当波源（Source）和接收器（Receiver）以接近速度$v_S$和$v_R$相对运动时，有
$${\nu }_R=\frac{u+v_R}{u-v_S}{\nu }_S\text{\hspace{1em}(11.12)}$$

  这是机械波的多普勒效应，观测者体现在分子，波源体现在分母。其实为了方便记忆，可以将式$(11.12)$变形为式$(11.13)$：
$$\frac{{\nu }_R}{u+v_R}=\frac{{\nu }_S}{u-v_S}\text{\hspace{1em}(11.13)}$$

  接收器在左边，波源在右边。至于$v_R,v_S$前的符号，可以根据常识推断。
  如果是电磁波的多普勒效应，那就需要考虑相对论因素：
$${\nu }_R=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}{\nu }_S\text{\hspace{1em}(11.14)}$$

  方便记忆，也可以变形为如下形式：
$$\frac{{\nu }_R}{\sqrt{c+v}}=\frac{{\nu }_S}{\sqrt{c-v}}\text{\hspace{1em}(11.15)}$$

其他想说的

  劲度系数分别为$k_1,k_2$的两根轻弹簧，首尾相连（串行连接）构成劲度系数为$\frac{k_1{k}_2}{k_1+k_2}$的弹簧。如果是把头与头相连、尾与尾相连（并行连接），则构成劲度系数为$k_1+k_2$的弹簧。

$Chapter13$ 波动光学

  波动光学，由于之前并未过多接触，所以看起来公式量有些多。但其实也还好，每个知识点都记住一些个核心公式就好了，然后从这些比较核心的公式，以比较小的代价去推导其他的公式。
  这一章需要牢牢扣住光程差$\delta$这一个要点。光程差可以与相位差产生联系：
$$\delta =\frac{\lambda }{2\pi }\Delta \phi \text{\hspace{1em}(13.1)}$$

  从而判断两束光波在某处的叠加情况。这一章的另外一个要点是近似处理。

双缝干涉（杨氏双缝干涉）

  距离为$d$的两个小孔，将它们看作两个初相位相同的光源，它们发出的光的强度在距离为$D$的屏幕上发生相干叠加。光程差：
$$\delta =n{r}_1-n{r}_2\approx nd\sin \theta \text{\hspace{1em}(13.2)}$$

  式$(13.2)$是双缝干涉的基本公式，约等号处使用了近似处理。可以由它推导其他公式。
  由于$\theta$很小，近似有$\sin \theta \approx \theta \approx \tan \theta =\frac{x}{D}$，其中$x$是干涉点到屏幕中心店的距离。将其与代入式$(13.2)$，就有：
$$\delta =nd\sin \theta \approx \frac{ndx}{D}\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

  由$Chapter11$的内容，能够比较容易地想到下面的情况：
$$\Delta \phi =\{\begin{array}{ll}2k\pi & \text{合振幅极大},\\ (2k-1)\pi & \text{合振幅极小}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.4)}$$

  所以，结合式$(13.1)$，得到
$$\delta =nd\sin \theta =\{\begin{array}{ll}k\lambda & \text{光强极大},\\ \left(k-\frac{1}{2}\right)\lambda & \text{光强极小}.\end{array}\text{\hspace{1em}(13.5)}$$

  显然光强极大对应明纹，光强极小对应暗纹。
  除了上述方法，也可以只记下面的公式：
$$I_{\theta }=I_0{\cos }^2\beta \text{\hspace{1em}(13.6)}$$

  其中的$\beta =\frac{\pi nd\sin \theta }{\lambda }$.一般实验都在$n\approx 1$的空气中进行，$\beta =\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }$.显然，${\cos }^2\beta =1$对应明纹，${\cos }^2\beta =0$对应暗纹。

分振幅干涉

  先考虑等倾干涉，同样可以记住一个基本公式：
$$\delta =2nd\cos \gamma \text{\hspace{1em}(13.7)}$$

  实际如果两个反射面中只有一处发生半波损失，$\delta$还应该加上$\frac{\lambda }{2}$.这个公式当然可以现场推导，但是花费的时间会比较多，建议记住。可以通过这个推导明暗纹条件。
  等厚干涉就是对每一个厚度$d$，都考虑式$(13.7)$，每个厚度对应相同的一个光程差$\delta$.
  对于等倾干涉来说，$\gamma$是一个变量，$\delta$随$\gamma$的变化而不同，因此相同$\gamma$的点（一个一个同心圆）对应相同的$\delta$，从而干涉情况相同。对于等厚干涉来说，$\gamma =0$（即只考虑正入射），但是$d$是变量，$\delta$随$d$的变化而不同，因此相同$d$的点（一系列平行线）对应相同的$\delta$，从而干涉情况相同。

单缝衍射（单缝夫琅禾费衍射）

  公式的推导略显复杂，我们只需要记住结果：产生与狭缝平行的干涉条纹，强度为
$$I_{\theta }=I_0{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2\text{\hspace{1em}(13.8)}$$

  如果实验在$n=1$的环境下进行，$\alpha =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$.如果$n\ne 1$也一样，$\lambda$代表在介质中的波长。根据该式可以推出各暗纹（极小）的位置，明纹（极大）的位置也可以近似地计算。

多缝衍射

  多缝衍射需要同时考虑干涉和衍射的结果，光强公式为：
$$I_{\theta }=I_0{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2{\left(\frac{\sin N\beta }{\sin \beta }\right)}^2\text{\hspace{1em}(13.9)}$$

  $\alpha$是和衍射有关的参数，$\beta$是和干涉有关的参数。实际上，当$N=2$时，式$(13.9)$变为
$$I_{\theta }=4I_0{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2{\cos }^2\beta \text{\hspace{1em}(13.10)}$$

  这个和双缝衍射的$I_{\theta }=I_0{\left(\frac{\sin \alpha }{\alpha }\right)}^2{\cos }^2\beta$具有相同的形式。

$\boxed{\mathbb{T}he\mathbb{E}nd.}$