概述

因为最近在看NeRFs相关的论文,所以接触到一些图形学内容, 在一篇介绍Radiance Filed 文章中，看到了关于图形渲染方程的内容，但搜索下来，文中给出的方程形式和其他地方的似乎不一致，于是进行了一番搜索，本文是笔记。

在一些图形学材料中，看到的渲染方程形式如下：

$$L_o(\mathbf{x},{\omega }_o)=L_e(\mathbf{x},{\omega }_o)+{\int }_{\Omega }{f}_r(\mathbf{x},{\omega }_i,{\omega }_o)L_i(\mathbf{x},{\omega }_i)({\omega }_i\cdot \mathbf{n})d{\omega }_i$$

而文章中给出的是
$$L(x,\omega )=L_e(x,\omega )+{\int }_{S^2}L(x,-{\omega }^{\prime })f(\omega ,{\omega }^{\prime })|n\cdot {\omega }^{\prime }|d{\omega }^{\prime }$$

两个方程样子很类似，但是有区别，搜索后发现应该是辐射传输方程和图形学渲染方程。

辐射传输方程（Radiative Transfer Equation, RTE）和图形学渲染方程（Rendering Equation）在本质上描述的是相同的物理现象，即光在介质中的传播和相互作用。然而，它们在应用领域和具体形式上有一些区别。

辐射传输方程

辐射传输方程主要用于描述光在参与介质（如大气、海洋、星际介质等）中的传播。它考虑了光的吸收、散射和发射过程。其一般形式为：

$$L(x,\omega )=L_e(x,\omega )+{\int }_{S^2}L(x,-{\omega }^{\prime })f(\omega ,{\omega }^{\prime })|n\cdot {\omega }^{\prime }|d{\omega }^{\prime }$$

其中：

• $L(x,\omega )$ 是在位置 $x$ 处沿方向 $\omega$ 的辐射亮度。
• $L_e(x,\omega )$ 是在位置 $x$ 处沿方向 $\omega$ 的自发辐射亮度。
• $f(\omega ,{\omega }^{\prime })$ 是相位函数，描述光从方向 ${\omega }^{\prime }$ 散射到方向 $\omega$ 的概率。
• $|n\cdot {\omega }^{\prime }|$ 是法向量 $n$ 与方向 ${\omega }^{\prime }$ 的点积的绝对值，表示入射角的余弦值。

图形学渲染方程

图形学渲染方程用于计算机图形学中，描述光在场景中的传播和相互作用。它主要用于生成逼真的图像。渲染方程的形式为：

$$L_o(x,\omega )=L_e(x,\omega )+{\int }_{S^2}{L}_i(x,{\omega }^{\prime })f_r(x,{\omega }^{\prime },\omega )({\omega }^{\prime }\cdot n)d{\omega }^{\prime }$$

其中：

• $L_o(x,\omega )$ 是在位置 $x$ 处沿方向 $\omega$ 的出射辐射亮度。
• $L_e(x,\omega )$ 是在位置 $x$ 处沿方向 $\omega$ 的自发辐射亮度。
• $L_i(x,{\omega }^{\prime })$ 是在位置 $x$ 处沿方向 ${\omega }^{\prime }$ 的入射辐射亮度。
• $f_r(x,{\omega }^{\prime },\omega )$ 是双向反射分布函数（BRDF），描述光从方向 ${\omega }^{\prime }$ 反射到方向 $\omega$ 的比例。
• $({\omega }^{\prime }\cdot n)$ 是入射角的余弦值，表示入射光的衰减。

主要区别

1. 应用领域：

   • 辐射传输方程：主要用于大气科学、天文学、海洋学等领域，研究光在参与介质中的传播。
   • 渲染方程：主要用于计算机图形学，生成逼真的图像。

2. 物理过程：

   • 辐射传输方程：考虑了光的吸收、散射和发射过程，适用于参与介质。
   • 渲染方程：主要考虑光的反射和发射过程，适用于非参与介质（如物体表面）。

3. 数学形式：

   • 辐射传输方程：通常包含相位函数 $f(\omega ,{\omega }^{\prime })$ 和入射角的余弦值 $|n\cdot {\omega }^{\prime }|$。
   • 渲染方程：包含双向反射分布函数（BRDF） $f_r(x,{\omega }^{\prime },\omega )$ 和入射角的余弦值 $({\omega }^{\prime }\cdot n)$。

小结

两个方程描述的物理概念应该是同一个，但是形式不同。笔者在图形学领域经验不多，如有谬误，欢迎指正。