柯西数列

一个数列$a_n$称为柯西数列（Cauchy Sequence），如果对于任意的正数 $ϵ>0$，存在一个正整数 $N$，使得对于所有的 $m,n\ge N$，都有：$|a_m-a_n|<ϵ$。

即：当数列的项 $a_n$ 和 $a_m$ 的索引足够大时，它们之间的距离可以任意小。

柯西收敛准则

在实数集 $\mathbb{R}$ 或复数集 $\mathbb{C}$ 中，每一个柯西数列都是收敛的。

即：数列 $a_n$ 是柯西数列，当且仅当它是收敛的。

数列$a_n=1/n$是柯西数列

考虑数列 $a_n$，其中 $a_n=\frac{1}{n}$。

对于任意 $ϵ>0$，选择 $N>\frac{1}{ϵ}$。当 $m,n\ge N$ 时，有：

$|a_m-a_n|=|1/m-1/n|=|(n-m)/mn|$

对于 $m,n\ge N$，我们有 $m>=N且n>=N$，因此$mn>=N^2$

于是，$|(n-m)/mn|<=(n-m)/N^2$

由于 $m$ 和 $n$ 都是大于等于 $N$ 的整数，因此：
$|n-m|<=|n|+|m|$

并且因为 $m,n\ge N$，所以：
$|n-m|<=|N|+|N|=2N$

综上，
$|(n-m)/mn|<=2N/N^2=2/N$

为了使 $\left|\frac{2}{N}\right|<ϵ$，我们可以选择 $N>\frac{2}{ϵ}$。这样，当 $m,n\ge N$ 时，有

$|(n-m)/mn|<=2N/N^2=2/N<ϵ$

数列$a_n=1/n$是一个柯西数列。