红黑树的基本概念

红黑树
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  • 特征

    • [1] 根节点是黑色的
    • [2] 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL), 也就是说,叶子节点不存储数据
    • [3] 任何相邻的节点都不能同时为红色,也就是说,红色节点是被黑色节点隔开的
    • [4] 每个节点,从该节点到达其可达叶子节点的所有路径,都包含相同数目的黑色节点
为什么说红黑树是“近似平衡”的?
  • 平衡的意思可以等价为性能不退化
  • 近似平衡就是等价为性能不会退化太厉害
  • 二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比
    • 一颗极其平衡的二叉树(满二叉树或完全二叉树)的高度大约是log2n
    • 所以,如果要证明红黑树是近似平衡的,只需要分析,红黑树的高度是否比较稳定地趋近log2n就好了
  • 红黑树高度分析
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    • 如果,把红色节点从红黑树中去掉,那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是多少?

      • 红色节点删除之后,有些节点就没有父节点了,它们会直接拿这些节点的祖父节点(父节点的父节点)作为父节点。所以,之前的二叉树就会变成四叉树
      • 前面红黑树的定义有一条:从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。从四叉树中取出某些节点,放到叶节点位置,四叉树就变成完全二叉树。所以,仅包含黑色节点的四叉树的高度,比包含相同节点个数的完全二叉的高度还要笑
      • 完全二叉树的高度近似log2n,这里的四叉“黑树”的高度要低于完全二叉树,所以去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过log2n
      • 原红黑树中。红色节点不能相邻,也就说,有一个红色节点就要至少有一个黑色节点,将它跟其他红色节点隔开。红色树中包含最多黑色节点的路径不会超过log2n,所以加入红色节点之后,最长路径不会超过2log2n也就是说红黑树的高度近似2log2n
红黑树操作项
  • 左旋(rotate left)
    • 左旋全称,围绕某个节点的左旋

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    • X的右子节点成为X的父节点。也即X成为左子节点

  • 右旋(rotate right)
    • 右旋全称,围绕某个节点的右旋

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    • X的左子节点成为X的父节点。也即X成为右子节点

  • 插入操作的平衡调整
    • 红黑树规定,插入的节点必须是红色。二叉查找树中新插入的节点都是放在叶子节点上
      • 如果插入节点的父节点是黑色,那什么都不用做,它仍然满足红黑树的定义
      • 如果插入的节点是根节点,那直接改变它的颜色,把它变成黑色
    • 如果存在违背红黑树的定义,就需要左右旋转改变颜色做调整
    • 红黑树的平衡调整过程是一个迭代的过程
      • 把正在处理的节点叫做关注节点
      • 关注节点会随着不停迭代处理,而不断发生变化。最开始的关注节点就是新插入的节点
    • 插入平衡调整策略
      • CASE 1: 如果关注节点a,它的叔叔节点d是红色
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        • 操作策略

          • 将关注节点a的父节点b, 叔叔节点d的颜色都设置成黑色
          • 将关注节点a的祖父节点c设置成红色
          • 关注节点变成a的祖父节点c
          • 跳到CASE 2CASE 3
        • 策略说明

          • a 和 b都是红色,违背了特征[3]. 把b设置成黑色以解决问题
          • b 从 红色变成了黑色,违背了特征[4].所以要把c设置红色
          • 因为a,c都改变了颜色。导致 d节点分支的黑色节点总数减少了1,违背了特征[4].所以d要变成黑色
      • CASE 2: 如果关注节点是a,它的叔叔节点d是黑色,关注节点a是其父节点b的右子节点
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        • 操作策略

          • 关注节点变成节点a的父节点b
          • 围绕新的关注节点b左旋
          • 跳到CASE 3
        • 策略说明

          • 处理红黑树的核心思想:将红色的节点移到根节点,然后将根节点设为黑色
          • 所以要不断将破坏红黑树特性的红色节点上移。即通过左旋将a上移
          • 如果a变成了根节点,可以直接变黑色.如果不是根节点,就需要切换关注节为b
          • 处理问题准则
            • 需要从下至上(由叶到根)方向处理
            • 必须先解决子节点的问题,再解决父节点问题
      • CASE 3: 如果关注节点是a,它的叔叔节点d是黑色,关注节点a是其父节点b的左子节点
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        • 操作策略

          • 围绕关注节点a的祖父节点c右旋
          • 将关注节点a的父节点b,兄弟节点c的颜色互换
          • 调整结束
        • 策略说明

          • b 和 a都是红色,违背了特征[3]
          • 所以把b,c颜色互换。b为黑色, c为红色。然后以c右旋
            • b设置为黑色,解决了特征[3]
            • b为黑色后,所有经过b的黑色节点数量增加了1,违背了特征[4],要把c改成红色,
            • 但是经过d的黑色节点数量减少了1,然后以c右旋
    • 删除平衡调整
      • 删除平衡调整分两步
        • 针对删除节点初步调整
          • 将红黑树当作一颗二叉查找树,将节点删除后,可能违反特征[1], 特征[3], 特征[4]
          • 对于删除的某节点(删除节点y,新节点x)
            • 删除节点y之后,x占据了原来节点y的位置
            • 既然删除y(y是黑色),意味着减少一个黑色节点,那在该位置上增加一个黑色即可
            • 假设"x包含一个额外的黑色",就正好弥补了"删除y所丢失的黑色节点",就不会违反特征[4]
            • 还有,假设"x包含一个额外的黑色"(x原本颜色还存在),这样也不会违反特征[4]
            • 现在,x不仅包含原本的颜色属性,x还包含一个额外的黑色。即x的颜色属性是"红 + 黑" 或 “黑 + 黑”,违反特征[3]
        • 针对关注节点进行二次调整
          • 二次调整是为了解决违反特征[3],特征[4]这2个特征
          • 调整方法(x为需要调整的节点):将x所包含的额外的黑色不断沿树上移(向根方向移动)
            • x是 "红 + 黑"节点,x为叶子节点
              • 直接把x设为黑色,结束。此时红黑树性质全部恢复
            • x是 "黑 + 黑"节点,且x是根
              • 什么都不做,结束。此时红黑树性质全部恢复
            • x是"黑 + 黑"节点,且不是根
              • 可以划分出四种子情况
      • 针对删除节点初步调整
        • 删除简述
          • 被删除节点没有儿子,即为叶节点。那么,直接将该节点删除就OK了
          • 被删除节点只有一个儿子。那么,直接删除该节点,并用该节点的唯一子节点顶替它的位置
          • 被删除节点有两个儿子
            • 先找出它的后继节点,然后把‘它的后继节点的内容’复制给‘该节点的内容’,之后,删除‘它的后继节点’
        • CASE 1: 如果要删除的节点是a, 它只有一个子节点b
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          • 操作策略

            • 删除节点a,并且把节点替换到a的位置,这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作一样
            • 节点a只能是黑色,节点b也只能是红色,其他情况均不符合红黑树的定义。这种情况下,我们把节点b改成黑色
            • 调整结束,不需要进行二次调整
          • 策略说明

            • 被删除节点只有一个儿子
            • 那么,直接删除该节点,并用该节点的唯一字节点顶替他的位置
        • CASE 2: 如果要删除的节点a有两个非空子节点,并且它的后继节点就是节点a的右子节点c
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          • 操作策略

            • 如果节点a的后继节点就是右子节点c,那右子节点肯定没有左子树。我们把节点a删除,并且将节点c替换到节点a的位置。这一部分操作跟普通的二叉树的删除操作无异
            • 然后把节点c的颜色设置为跟节点a相同的颜色
            • 如果节点c是黑色,为了不违反红黑树的特征[4],我们给节点c的右子节点d多加一个黑色,节点d就成了"红 - 黑""黑 - 黑"
            • 同时关注节点变成了节点d,第二步的调整操作就会针对关注节点来做
          • 策略说明

            • 被删除的节点有两个儿子。那么,先找出它的后继节点
            • 然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”
            • 之后,删除“它的后继节点”。在这里,后继节点详单于替身,在将后继节点的内容复制给“被删除节点”之后,再将后继节点删除
            • 这样就巧妙的将问题转换为“删除后继节点”的情况了
            • 后面只需要考虑后继节点的情况
        • CASE 3: 如果要删除的是节点a,它有两个非空子节点,并且节点a的后继节点不是右子节点
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          • 找到后继节点d,并将它删除,删除后继节点d的过程参照CASE 1

          • 将节点a替换成后继节点d

          • 把节点d的颜色设置为跟节点a相同的颜色

          • 如果节点d是黑色,为了不违法特征[4],我们给节点d的右子节点c多加一个黑色,这个时候节点c就变成了"红 - 黑" 或者 "黑 - 黑"

          • 这个时候,关注节点变成了节点c,第二步的调整操作就会针对关注节点来做

      • 针对关注节点进行二次调整
        • 经过初步调整之后,关注节点变成了“红 - 黑” 或者 “黑 - 黑”
        • CASE1: 如果关注节点是a,它的兄弟节点c是红色
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          • 操作策略

            • 围绕关注节点a的父节点b左旋
            • 关注节点a的父节点b和祖父节点c交换颜色
            • 关注节点不变
            • 继续从四种情况中选择合适的规则来调整
          • 策略说明

            • 这样做的目的是将CASE 1 转换为CASE 2, CASE 3CASE 4从而进一步处理
            • 对b进行左旋。左旋后,为了保持红黑树特性,就需要把 b,c的颜色互换
        • CASE 2: 如果关注节点是a,它的兄弟节点c是黑色,并且节点c的左右子节点d,e都是黑色
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          • 操作策略

            • 将关注节点a的兄弟节点c的颜色变成红色
            • 从关注节点a中去掉一个黑色,这个时候节点a就是单纯的红色或者黑色
            • 给关注节点a的父节点b添加一个黑色,这个时候节点b就变成来"红-黑" 或者"黑 - 黑"
            • 关注节点从a变成其父节点b
            • 继续从四种情况中选择符合的规则来调整
          • 策略说明

            • 这个情况的处理思想是把"a中多余的一个黑色属性上移(往根节点方向)"
            • 假设a为"黑 + 黑"节点,将a由"黑 + 黑"节点变成"黑"节点,多余的一个"黑"属性,转移到父节点
            • b节点多出了一个黑属性(如b原先是"黑",则此时变成了"黑 + 黑";若b原先是红,则变成"红 + 黑")
            • 此时,所有经过a分支中黑色节点个数没变化
            • 因为经过c分支黑色节点个数+1了,需要把黑色数量-1。所以,要把 c设置为红色
        • CASE 3: 如果关注节点是a,它的兄弟节点c是黑色,c的左子节点d是红色,c的右子节点e是黑色
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          • 操作策略

            • 围绕关注节点a的兄弟节点c右旋
            • 节点c和节点d交换颜色
            • 关注节点不变
            • 跳转到CASE 4,继续调整
          • 策略说明

            • 主要是为了把CASE 3 转换成CASE 4
            • 对c进行右旋。为了保证右旋后仍然是红黑树,需要c和d交换颜色
            • 这个时候变成了平衡二叉树的单旋和双旋的情况,双旋的处理逻辑就是把双旋变成单旋(比如先右后左旋就是把树变成'左撇子')
        • CASE 4: 如果关注节点a的兄弟节点c是黑色,并且c的右子节点是红色的
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          • 操作策略

            • 围绕关注节点a的父节点b左旋
            • 将关注节点a的兄弟节点c的颜色,跟关注节点a的父节点b设置成相同的颜色
            • 将关注节点a父节点b的颜色设置为黑色
            • 从关键节点a中去掉一个黑色,节点a变成单纯的红色黑色
            • 将关注节点a的叔叔节点e设置为黑色
            • 调整结束
          • 策略说明

            • 目的:去除"黑-黑"/"红-黑"节点,变成单独的黑色节点
            • 左旋后为什么把 b设置成c的颜色?
              • 因为左旋后,把和b和d都是红色违反特征[3]
              • 如果都是黑色都违反特征[4]
            • 设置b为黑色,为了保证满足特征[4]
              • “同时经过根节点和a分支的黑色节点个数不变”
                • 只需要a丢弃多余的颜色。假设a的颜色"黑 + 黑",而左旋后"同时经过根节点和a分支的黑色节点"增加了1
                • 现在,只需要将a由"黑 + 黑"变成单独的"黑"节点
              • “同时经过根节点和d的分支的黑色节点不变”
                • 若要满足这个条件,只需要把b的原始颜色给c即可
                • 所以,最后算是对调了b和c的颜色
              • “同时经过根节点和e分支的黑色节点不变”
                • 在满足上一个条件下。要满足这个条件。把e设置成黑色即可
资料参考
  • 从2-3树到 红黑树
  • 清晰理解红黑树的演变—红黑的含义
  • 红黑树(一)之 原理和算法详细介绍
  • Red/Black Tree
  • 红黑树(四)之 C++的实现
  • 五分钟搞定什么是红黑树
  • [Data Structure] 数据结构中各种树
  • 教你初步了解红黑树
  • 经典算法研究系列:五、红黑树算法的实现与剖析
  • 一步一图一代码,一定要让你真正彻底明白红黑树
  • 从2-3-4树到红黑树(上)
  • 从2-3-4树到红黑树(中)
  • 从2-3-4树到红黑树(下) Java与C的实现

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