DeepSORT（目标跟踪算法）中 可以设置阈值进行异常检测或目标跟踪的原因

flyfish

代码地址
https://github.com/shaoshengsong/DeepSORT

利用卡方分布的特性来设置合理的阈值进行异常检测或目标跟踪。

设定和定义

假设我们有一个 $k$ 维的随机向量 $\mathbf{X}$，其服从均值向量 $\mathbf{\mu }$ 和协方差矩阵 $\Sigma$ 的多维正态分布，即：
$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{\mu },\Sigma )$

马氏距离定义为：
$D_M(\mathbf{X},\mathbf{\mu })=\sqrt{(\mathbf{X}-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu })}$

我们需要证明：
$D_M^2(\mathbf{X},\mathbf{\mu })=(\mathbf{X}-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu })$
服从自由度为 $k$ 的卡方分布，即：
$D_M^2(\mathbf{X},\mathbf{\mu })\sim {\chi }_k^2$

步骤

1. 标准化随机向量：设 $\mathbf{Y}={\Sigma }^{-1/2}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu })$，其中 ${\Sigma }^{-1/2}$ 是协方差矩阵 $\Sigma$ 的逆的平方根矩阵，使得：
   ${\Sigma }^{-1/2}\Sigma {\Sigma }^{-1/2}=\mathbf{I}$这样 $\mathbf{Y}$ 的协方差矩阵为单位矩阵：
   $\mathbf{Y}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$
2. 马氏距离平方的变换：由于 $\mathbf{Y}={\Sigma }^{-1/2}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu })$，则：
   $(\mathbf{X}-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu })={\mathbf{Y}}^T\mathbf{Y}={\sum }_{i=1}^k{Y}_i^2$
3. 卡方分布的性质：对于 $k$ 维独立的标准正态分布 $\mathbf{Y}\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})$，其每个分量 $Y_i$ 独立且服从标准正态分布，即 $Y_i\sim \mathcal{N}(0,1)$。因此， ${\sum }_{i=1}^k{Y}_i^2$ 是 $k$ 个独立标准正态随机变量的平方和，根据卡方分布的定义：
   ${\sum }_{i=1}^k{Y}_i^2\sim {\chi }_k^2$
4. 结论：综上所述，我们得出：
   $(\mathbf{X}-\mathbf{\mu }{)}^T{\Sigma }^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu })={\mathbf{Y}}^T\mathbf{Y}={\sum }_{i=1}^k{Y}_i^2\sim {\chi }_k^2$
   因此，马氏距离的平方 $D_M^2(\mathbf{X},\mathbf{\mu })$ 在多维正态分布下服从自由度为 $k$ 的卡方分布。