前言

结合第四篇观看 效果更好^^
数值型分为两类

• 定点数
  • 整数
  • 小数
• 浮点数
  注意：小数点不用占用二进制位

第一部分 编码

1.小数的二进制表示

• 位置计数法：小数点左边的权重是正指数，右边的数是负指数，如图
  
  由此可知，数字形如 0.11111…… （二进制数） 是一个十分接近但小于1的数字
• 由于这种缘故 可表示的数字精度有限，只能精确的表示 x/2^k 这种形式的数字

2.编码有理数

• 采用 v = x × 2^𝑦 的方式
  • 这种方式在v的绝对值远大于0或远小于1时有用

3.浮点数的表示（重点）

• 数字的形式表示
  • s 符号位:符号位 决定正负
  • M 尾数：决定数字的精度，一个小数，通常在[1.0,2.0) 或 [0.0, 1.0)
  • E 阶码：决定数字的范围
    
• 编码方式
  • 符号位-阶码-尾数
    
• 几种精度的浮点数（常考32位）

  • 单精度：32位
    

  • 双精度：64位
    

  • 扩展精度：80位（仅Intel支持）
    

4.IEEE 754 标准（浮点数编码）

规格化数

-当 exp ≠ 000…0 且 exp ≠ 111…1 时

• 阶码Exp：E = Exp – Bias
  • E ：真值 即真实值乘以的2的指数
  • Bias： bias = 2^k‐1 – 1, k是exp的位宽（因此可知这是固定的，32位是127，64位是1023）
• 尾数M：M = 1.xxx….x （二进制数）
  • 包含一个隐式前置的1，即小数点前面的1（这个1存在但不会记录到编码上，相当于节省了一位^^）
  • xxx…x: 为frac域的各位的编码
  • 最小值：frac = 000…0 (M = 1.0 )
  • 最大值：frac = 111…1 (M = 2.0 - ε)（上面已经说过了，这个会无限的接近于1，加上小数点前的1就是2-ε）

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举个例子吧~
我们现在有一个浮点数
数值为float f = 15213.0

• 转化成二进制就是
  15213 = 11101101101101
  = 1.1101101101101 × 2 ^13

从这里就可以得到尾数和阶码的信息了

• 尾数是1.1101101101101
  补上单精度的位数并去掉前置1就是尾数
  11011011011010000000000

• 阶码部分
  真实值E是13（2的指数）
  Bias是127（32位）
  因此Exp是127+13 = 140
  转换成二进制就是 10001100

而符号位为0（正数）
因此我们有以下编码

非规格化数

• 当 exp = 000…0 时
• 阶码
  • E = - Bias + 1
• 尾数M = 0.xxx…x（二进制）
  • 包含一个隐式前置的0
  • xxx…x: 为frac域的各位的编码
• 当 exp = 000…0, 且 frac = 000…0 时
  • 注意区别：+0 和 -0区别
  • 表示 0
• 当 exp = 000…0, 且 frac ≠ 000…0 时
  • 非常接近于0.0的数字
  • 等间距的

特殊值

• 当 exp = 111…1 时
• 当 exp = 111…1 且 frac = 000…0 时
  • 表示无穷 ∞
  • 意味着运算出现了溢出
  • 正向溢出，或负向溢出
• 当 exp = 111…1 且 frac ≠ 000…0 时
  • 不是一个数字
  • 表示数值无法确定
  • NaN
    如图，
    
    

第二部分 运算

1.几种舍入模式

这是重点

• 向下舍入
  ◼ 舍入结果接近但不会大于实际结果
• 向上舍入
  ◼ 舍入结果接近但不会小于实际结果
• 向 0 舍入
  ◼ 舍入结果向 0 的方向靠近
  ◼ 如果为正数，舍入结果不大于实际结果
  ◼ 如果为负数，舍入结果不小于实际结果

向偶数舍入（重点）

• 浮点数运算默认的舍入模式
  ◼其他的舍入模式都会统计偏差
  ◼ 一组正数的总和将始终被高估或低估
• 适用于舍入至小数点后任何位置
  ◼ 当数字正好处在四舍五入的中间时
  ◼ 向最低位为偶数的方向舍入

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下面是例子
就是四舍五入的偶数版（一般是按照四舍五入，如果在中间的话就向偶数方向舍入）

不同舍入之间的比较

我们可以看一下不同舍入之间的差异
第一行是向偶数舍入
第二行是向零舍入
第三四行向下和向上舍入

2.基本思想

• 首先计算出精确的值
• 将结果调整至目标的精度
  ◼ 如果阶码值过大，可能会导致溢出
  ◼ 可能会进行舍入以满足尾数的位宽

3.浮点数乘法

(-1)^s1 M1 2^E1 × (-1)^s2 M2 2^E2

• 精确的结果是(-1)^s M 2^E
  • 符号位 (Sign) s:s1^s2
    尾数 (Significand) M:M1 ×M2
    阶码 (Exponent) E:E1 + E2
• 修正：
  • 符号位 (Sign) s:s1^s2
    尾数 (Significand) M: M1 ×M2
    阶码 (Exponent) E:E1 + E2
    

4.浮点数加法

(-1)^s1 M1 2^E1 × (-1)^s2 M2 2^E2(假设E1 > E2）

• 精确的结果 (Exact Result)：(-1)^s1 M 2^E
  ◼ 符号位 s 和尾数 M：有符号数对齐后相加的结果
  ◼ 阶码 (Exponent) E:E2
• 修正
  • 如果M ≥ 2，右移M，并增大E的值
    如果M < 1，左移M k位，然后E减去k
    如果E超出范围，溢出
    对M进行舍入以满足frac的位宽精度要求

5.C语言中的浮点数

• C语言中支持两种精度的浮点数（float单精度 double 双精度）
• 类型转换
  • double/float → int
    • 截断尾数
    • 向0舍入
    • 越界和NaN的情况通常设置为Tmin Tmax
  • int → double
    • 精准转换 因为int的位宽小于53（double）
  • int → float
    • 浮点数舍入模式（上面介绍的）

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下面是例子

各类型的强制转换结果如下 解释在右^^