为什么一个信号与一个频率固定的余弦信号相乘，频域上，相当于对信号的频谱进行了一个移动处理?

这个现象可以通过傅里叶变换和调制定理来解释。

数学解释

设信号$x(t)$ 和余弦信号$\cos (2\pi f_{c}t)$相乘，得到信号$y(t)$:

$y(t)=x(t)\cos (2\pi f_{c}t)$

余弦信号可以表示为两指数信号的和：

$\cos (2\pi f_{c}t)=\frac{1}{2}\left(e^{j2\pi f_{c}t}+e^{-j2\pi f_{c}t}\right)$

因此，乘积信号 ( y(t) ) 可以写成：

$y(t)=x(t)\cdot \frac{1}{2}\left(e^{j2\pi f_{c}t}+e^{-j2\pi f_{c}t}\right)=\frac{1}{2}\left(x(t)e^{j2\pi f_{c}t}+x(t)e^{-j2\pi f_{c}t}\right)$

频域分析

通过傅里叶变换分析这个信号，可以看到：

傅里叶变换后的信号$Y(f)$是 $x(t)e^{j2\pi f_{c}t}$ 和 $x(t)e^{-j2\pi f_{c}t}$的和的傅里叶变换：

$Y(f)=\frac{1}{2}\left(X(f-f_c)+X(f+f_c)\right)$

这里 $X(f)$是$x(t)$的傅里叶变换。

解释

这说明原信号$x(t)$的频谱$X(f)$ 被移到了$f_c$和$-f_c$位置，并且被缩小了一半。因此，相乘操作在频域上相当于将信号的频谱分别向正负频率方向移动了一个载频$f_c$。

物理意义

这在通信系统中有很重要的应用，例如在调幅（AM）中，一个基带信号（音频信号）与一个高频载波相乘，从而将信号移到高频段进行传输。接收端再通过乘以相同的载波频率和低通滤波来还原原始信号。