每周算法：01分数规划

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观光奶牛

题目描述

给定一张 $N$ 个点、 $M$ 条边的有向图，每个点都有一个权值 $p_i$ ，每条边都有一个权值 $w_i$ 。

求图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。

输出这个最大值。

注意：数据保证至少存在一个环。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$ 。

接下来 $N$ 行每行一个整数，表示 $p_i$ 。

再接下来 $M$ 行，每行三个整数 $a$ ， $b$ ， $w [i]$ ，表示点 $a$ 和 $b$ 之间存在一条边，边的权值为 $w_i$ 。

输出格式

输出一个数表示结果，保留两位小数。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

6.00

提示

【数据范围】

$2 \leq N \leq 1000$ ,
$2 \leq M \leq 5000$ ,
$1≤p_i,w_i≤1000$

算法思想

根据题目描述，求的是图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大，不妨设即环上各点的权值之和为 $\sum p_i$ ，各边的权值之和为 $\sum w_i$ ，即求 $\frac{\sum p_i}{\sum w_i}$ 的最大值。这种解决“最优比率” 的问题，可以使用「01分数规划」。

01分数规划：01指取还是不取，分数即所求型式为 $\frac{a}{b}$ ，规划就是选取最好的方案。

01分数规划一般采用二分答案的方式求解。对于本题来说，即求是否存在 $mi d$ ，使环上各点的权值之和除以环上各边的权值之和大于 $mi d$ ，即 $\frac{\sum p_i}{\sum w_i}>mid$ ，进一步整理可得： $\sum p_i-mid\times \sum w_i>0$

其中， $p_i$ 表示节点 $i$ 的权值，为了方便处理，可以将节点的边权累加到该节点的出边上，那么不等式可以进一步转变为：
$\sum ({p_i-mid\times w_i})>0$

那么，要判断在包含环的图中是否存在 $mi d$ ，使环上各点的权值之和除以环上各边的权值之和大于 $mi d$ ，就等价于判断当图中边权为 ${p_i-mid\times w_i}$ 时，是否存在正权环。

而判断是否存在正权环可以使用「SFPA」算法，基本思想与判断负环稍有不同。判断负环可以参考博主的另一篇文章：每周一算法：负环判断。判断正权环时：

要求最长路，即 $d [v] < d [u] + w$ 时，更新 $v$ 点到起点的最长路；
当 $v$ 点到起点的最长路被更新时，累加最长路中包含的边数，即 $c n t [v] = c n t [u] + 1$
如果边数 $c n t [v] >= n$ ，说明图中存在正权环。

时间复杂度

本题中的01分数规划在二分答案的过程中，需要用SPFA算法判断正权环，时间复杂度为 $O (k Ml o g W)$ ，其中 $k$ 是常数， $M$ 为边数， $W$ 为边权之和。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 5005;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int n, m;
int p[N], q[N], cnt[N];
double d[N];
bool st[N];
void add(int a, int b, int c)  // 添加一条边a->b，边权为c
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}bool check(double mid) //spfa判断是否存在正权环
{memset(d, 0, sizeof d); //求最长路，初始化为0memset(st, 0, sizeof st);memset(cnt, 0, sizeof cnt);int hh = 0, tt = 0; //将所有点加入队列for(int i = 1; i <= n; i ++) { q[tt ++] = i, st[i] = true; }while(hh != tt) {int u = q[hh ++];if(hh == N) hh = 0; //循环队列st[u] = false;for(int i = h[u]; ~ i; i = ne[i]){int v = e[i];if(d[v] < d[u] + p[u] - mid * w[i]){d[v] = d[u] + p[u] - mid * w[i];cnt[v] = cnt[u] + 1;if(cnt[v] >= n) return true;if(!st[v]) {q[tt ++] = v, st[v] = true;if(tt == N) tt = 0;}}}}return false;
}
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> p[i];memset(h, -1, sizeof h);while(m --){int a, b, c;cin >> a >> b >> c;add(a, b, c);}double L = 0, R = 1e6;while(R - L > 1e-4){double mid = (L + R) / 2;if(check(mid)) L = mid;else R = mid;}printf("%.2lf\n", L);return 0;
}