数学建模之MATLAB入门教程（上）

前言：

• MATLAB是美国Math Works公司出品的商业数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图像处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、机器人，控制系统等领域。
• MATLAB将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案。

• MATLAB作为线性系统的一种分析和仿真工具，是理工科大学生应该掌握的技术工具，它作为一种编程语言和可视化工具，可解决工程、科学计算和数学学科中许多问题.
• MATLAB建立在向量、数组和矩阵的基础上，使用方便，人机界面直观，输出结果可视化.
• 矩阵是MATLAB的核心（Matrix Laboratory）

一、变量与函数

1、变量

MATLAB的命名规则：

（1）变量名必须是不含空格的单个词；
（2）变量名区分大小写；
（3）变量名最多不超过63个字符（6.5之前19个）
（4）变量名必须以字母打头，之后可以是任意字母、数字或下划线，变量名中不允许使用标点符号。

特殊变量	取值
ans	用于计算结果缺少变量名
pi	圆周率
eps	计算机的最小数，和1相加时产生一个比1大的数
flops	浮点运算数
inf	无穷大，比如1/0
NaN	不定量，比如0/0
i，j	虚数单位
nargin	所用函数的输入变量数目
nargout	所用函数的输出变量数目
realmin	最小可用正实数
realmax	最大可用正实数

注意：尽量避免给系统预定义的变量重新赋值！

变量的查询：

• 显示工作空间中的所有变量 ----who

• 查看工作空间中变量的详细属性 ---whos

2、数学运算符号及标点符号

+	加法运算，适用于两个数或两个同阶矩阵相加
-	减法运算
*	乘法运算
.*	点乘运算
/	除法运算
./	点除运算
^	乘幂运算
.^	点乘幂运算
\	反斜杠表示左除

（1）MATLAB的每条命令后，若为逗号或无标点符号，则显示命令结果；若命令后为分号，则不显示结果。

（2）“%”后面的文字为注释。

（3）“...”表示续行。

3、数学函数

函数	名称	函数	名称
sin(x)	正弦函数	asin(x)	反正弦函数
cos(x)	余弦函数	acos(x)	反余弦函数
tan(x)	正切函数	atan(x)	反正切函数
abs(x)	绝对值	max(x)	最大值
min(x)	最小值	sum(x)	元素的总和
sqrt(x)	开平方	exp(x)	以e为底的指数
log(x)	自然对数	$log_{10}(x)$	以10为底的对数
sign(x)	符号函数	fix(x)	取整

4、M文件

MATLAB的内部函数是有限的，有时为了研究某个函数的各种形态，需要为MATLAB定义新函数，为此必须编写函数文件。函数文件的后缀名为M的文件，这类文件的第一行必须是以特殊字符function开始，格式为：

function 因变量名=函数名（自变量名）

函数值的获得必须通过具体的运算实现，并赋给因变量。

M文件建立方法：1.在MATLAB中，点：File->New->M-file

2.在编辑窗口输入程序内容

3.点File->Save，存盘，M文件必须与函数名一致

function f=fun(x)
f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

二、数组

1、创建简单的数组

x=[a b c d e f]创建包含指定元素的行向量.

x=first:last

创建从first开始，加1计数，到last结束的行向量。

x=first:increment:last

创建从first开始，到increment计数，到last结束的行向量

x=linspace(first,last,n)

创建从first开始，到last结束，有n个元素的行向量

x=logspace(first,last,n)

创建从first开始，到last结束，有n个元素的对数分割行向量

2、数组元素的访问

（1）访问一个元素：x(i)表示访问数组x的第i个元素。

（2）访问一块元素：x(a：b：c)表示访问数组x的第a个元素开始，以步长b到第c个元素（但不超过c），b可以为负数，b缺省时为1.

（3）直接使用元素编址序号。x（[a b c d]）表示提取数组x的第a、b、c、d个元素构成一个新的数组[x(a) x(b) x(c) x(d)].

3、数组的方向

前面的例子中的数组都是一行数列，时行向量分布的。称之为行向量。数组也可使列向量，它的数组操作和运算与行向量是一样的，唯一的区别是结果以列的形式显示。产生方法：

直接产生例如 c=[1; 2; 3; 4]

转置产生例如 b=[1 2 3 4];c=b'

说明：以空格或逗号分隔的元素指定的是不同列的元素，而以分号分隔的元素指定了不同行的元素。

4、数组的运算

（1）标量-数组运算

数组对标量的加、减、乘、除和平方运算，是指数组的每个元素对该标量施加相应的加、减、乘、除、平方运算。设：a=[ $a_1$ , $a_2$ ,..., $a_n$ ]

则：a+c=[ $a_1$ +c, $a_2$ +c,..., $a_n$ +c]

a.*c=[ $a_1$ *c, $a_2$ *c,..., $a_n$ *c]

a.\c=[c/ $a_1$ ,c/ $a_2$ ,...,c/ $a_n$ ]（左除）

a.^c=[ $a_1$ ^c, $a_2$ ^c,..., $a_n$ ^c]

（2）数组-数组运算

当两个数组有相同为维数时，加、减、乘、除、幂运算可按元素对元素方式进行，不同大小或位数的数组是不能进行和运算的。

三、矩阵

1、矩阵的建立

矩阵用方括号“[ ]”括起来。逗号或空格用于分隔某一行的元素，分号用于区分不同的行。除了分号，在输入矩阵时，按Enter键也表示开始新一行。输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列

例如：m=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]

特殊矩阵的建立：

c=ones(m,n) 产生一个m行n列的元素全为1的矩阵

b=zeros(m,n) 产生一个m行n列的零矩阵

a=[ ] 产生一个空矩阵，当对一项操作无结果时，返回空矩阵，空矩阵的大小为零

d=eye(m,n) 产生一个m行n列的单位矩阵

2、矩阵中元素的操作

（1）矩阵的第r行：A（r，：）

（2）矩阵的第r列：A（：，r）

（3）依次提取矩阵A的每一列，将A拉伸为一个列向量：A（：）

（4）取矩阵A的第i1~i2行、第j1~j2列构成新矩阵：A（i1：i2，j1：j2）

（5）以逆序提取矩阵A的第i1~i2行，构成新矩阵：A（i2：-1：i1，：）

（6）删除A的第i1~i2行，构成新矩阵：A（i1：i2，：）=[ ]

（7）将矩阵A和B拼接成新矩阵：[A B]; [A; B]

3、矩阵的运算

（1）标量-矩阵运算

标量-数组运算相同

（2）矩阵-矩阵运算

[1]元素对元素的运算，同数组-数组运算

[2]矩阵运算

方阵的行列式：det（A）

方阵的逆：inv（A）

方阵的特征值与特征向量：[V, D]=eig[A]

a=[1 2 3;4 5 6];
b=[1 2;1 2;1 2];
c1=a+a
c2=a*b
c=[2 7 3;3 9 4;1 5 3];
c3=det(c)
c4=inv(c)
[v,d]=eig(c)

符号计算之求极限

syms x
y1=(1+4*x)^(1/x);
y2=(exp(x)-1)/x;
limit(y1,x,0)
limit(y2,x,0)

求导数与偏导数

比如：3x^3+5x+1

syms x
f=2*x^3+5*x+1
diff(f,1)

求定积分与多重积分，比如：

syms x y
int(int(x^2+y^2+1,y,x,x+1),x,0,1)

常微分方程初值问题的数值解法

1、龙格-库塔法简介

2、龙格-库塔法的实现

基于龙格-库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：

[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)

[t,y]=ode45('fname',tspan,y0)

其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf]，表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。

function yp=fun(t,y)
yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);
t0=0;tf=10;
y0=2;
[t,y]=ode23('fun',[t0,tf],y0);
y1=sqrt(t+1)+1;
t'
y'
y1'

控制流

MATLAB提供三种决策或控制流决策：for循环、while循环、if-else-end结果

这些结构包含大量的MATLAB命令，故经常出现在MATLAB程序中，而不是直接加在MATLAB提示符下。

for循环：允许一组命令以固定的和预定次数重复

for x=array

{commands}

end

在for和end语句之间的命令串{commands}按数组（array）中的每一列执行一次。在每一次迭代中，x被指定为数组的下一列，即在第n次循环中，x=array（：，n）

for n=1:10x(n)=sin(n*pi/10);
end
x

while循环：与for循环以固定次数求一组命令相反，while循环以不定的次数求一组语句的值

while （expression）

{commands}

end

例设银行年利率为11.25%。将10000元存入银行，问多长时间会连本带利的翻一翻？

money=10000
years=0
while money<20000years=years+1money=money*(1+11.25/100)
end

if-else-end结构：

if （expression）

{commands}

end

四、MATLAB作图

1、曲线图

MATLAB作图是通过描点、连线来实现的，故在画一个曲线图形之前，必须先取得该图形上的一系列的点的坐标（即横坐标与纵坐标），然后将该点集的坐标传给MATLAB函数画图。

命令为：

plot（X,Y,S)

X,Y是向量，分别表示该点集的横坐标和纵坐标

.y 黄色 . 点 - 连线

.m 洋红 o 圈：短虚线

.c 蓝绿色 x x-符号

-. 长短线 r 红色

+ 加号 -- 长虚线

plot（X,Y)——画实线

例如在[0,2pi]用红线画sinx，绿圈画cosx

2、符号函数（显函数、隐函数和参数方程）画图

（1）ezplot（‘f（x）’，[a,b]）表示在a<x<b绘制显函数f=f（x）的函数图

ezplot（'f(x,y)',[xmin,xmax,ymin,ymax])表示在区间xmin<x<xmax和ymin<y<ymax绘制隐函数f(x,y)=0的函数图

ezplot('x(t)','y(t)',[tmin,tmax])表示在区间tmin<t<tmax绘制参数方程x=x(t),y=y(t)的函数图

例在[0,2pi]上画x=cos^3t,y=sin^3t星形图

例在[-2,0.5],[0,2]上画隐函数e^x+sin(xy)=0的图

（2）fplot('fun',lims),fplot(@(x)fun,lims)

表示绘制字符串fun指定的函数在lims[xmin,xmax]的图形

注意：

[1] fun必须是M文件的函数名或独立变量为x的字符串。

[2] fplot函数不能换参数方程和音函数图形，但在一个图上可以花多个图形。

2、空间曲线

plot3(x,y,z,s)

例在区间[0,10pi]画出参数曲线 x=sint，y=cost，z=t

3、空间曲面

（1）surf（x,y,z)画出数据点（x，y，z）表示的曲面

例画出z=(x+y)^2的图形

4、处理图形

例在区间[0,2*pi]画出sin(x)的图形，并家住图例“自变量X”“函数Y”、“示意图”，并加格栅

gtext('string')

例在区间[0,2*pi]画sin(x),并标注"sinx","cos(x)"

图形保持

（1）hold on 保持当前图形，一边继续画图到当前图上

hold off 释放当前图形窗口

例将y=sin(x),y=cos(x)分别用电荷线画在同一个屏幕上

（2）割窗口

例将屏幕分为四块，并画出y=sin(x),z=cos(x),a=sin(x)*cos(x),b=sin(x)/cos(x)

由于内容过多，剩下的我们后面再赘述！