Cholesky分解(A=L * L^T)

Cholesky分解是一种用于解线性方程组和计算矩阵平方根的算法，特别适用于对称正定矩阵。这种方法相比于其他解法（如高斯消元法）在数值稳定性上通常有更好的表现，并且能够有效地利用矩阵的对称性和正定性。下面简要介绍如何使用Cholesky分解求解线性方程组 Ax = b，其中A是对称正定矩阵。

Cholesky分解的步骤：

分解: 首先，将矩阵A进行Cholesky分解，即找到一个下三角矩阵L，使得 $A = L * L^T$ 。这个过程是通过逐行进行的，对于矩阵A的第k行和第k列元素，按照以下公式计算L的元素：

$l_{kk} = \sqrt{a_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1} l_{kj}^2}$

$l_{ik} = \frac{1}{l_{kk}}(a_{ik} - \sum_{j=1}^{k-1} l_{ij}l_{kj}), \quad i > k$

这样，就可以得到下三角矩阵L。
求解: 一旦得到了L，就可以通过两个步骤来解线性方程组 $A x = b$ ：
- 前向替换：首先解 $L y = b$ ，得到y。这可以通过以下递推式完成：
  $y_1 = \frac{b_1}{l_{11}}$
  $y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}y_j}{l_{ii}}, \quad i = 2, 3, ..., n$
- 后向替换：然后解 $L^Tx=y$ ，得到最终的解x。这一步是：
  $x_n = y_n$
  $x_i = y_i - \sum_{j=i+1}^{n} l_{ji}x_j, \quad i = n-1, n-2, ..., 1$

示例代码（Python）

以下是一个简单的Python示例，使用NumPy库来实现Cholesky分解求解线性方程组：

import numpy as npdef cholesky_solve(A, b):# Cholesky分解L = np.linalg.cholesky(A)# 前向替换求yy = np.zeros_like(b)for i in range(len(b)):if i == 0:y[i] = b[i] / L[i, i]else:y[i] = (b[i] - np.dot(L[i, :i], y[:i])) / L[i, i]# 后向替换求xx = np.zeros_like(y)for i in reversed(range(len(b))):if i == len(b) - 1:x[i] = y[i]else:x[i] = y[i] - np.dot(L[i+1:, i], x[i+1:])return x# 示例矩阵A和向量b
A = np.array([[4, 12, -16], [12, 37, -43], [-16, -43, 98]])
b = np.array([1, 2, 3])# 求解
x = cholesky_solve(A, b)
print("解:", x)