二叉树——基础知识详解

前言：

经过前面的学习，我们接下来要开始二叉树的学习，因二叉树有难度，为了方便讲解以及各位的理解，本节知识会分成不同的小节进行学习，在本阶段只学习初阶的二叉树（堆，二叉数基本知识，二叉树的实现以及OJ题等），在学习了C++中会学习进阶的二叉树如：AVL树，红黑树等，敬请期待吧！本次学习的是二叉树的基本知识点。注：每小节内容都很重要，还望各位读者不要松懈，随着本博主一起努力学习吧！

一、树的概念

树，大家都见过，如果我们仔细观察的话会发现以下特点：对于大多数的树来说，其枝条都会汇与一点，一个枝条可能有其它枝条也可能没有对吧。有句话是这样说的：艺术来源于生活。数据结构的命名也不例外。既然它敢起名叫树，那么肯定会与树有相似点。要是没有的话，那为什么不叫其它名字？那么，问题来了?那些相似点体现在哪里？大家可以先想象一下：你心目中树的数据结构长什么样？给你两幅图，你选则哪一副？

大家心目中的是图一还是图二呢？答案为图一。（选择图二的主要原因是本博主图画的丑，不是你们原因）。这时估计有人说了：不是说和树相似吗？我觉得图二明明比图一更相似，为什么不是图二。确实，图二的确更相似。但，你要明白，这样做肯定有人家这样做的道理。在后续对其实现中，你应该能体会到图一才能实现，图二这种只能在理论上实现。

好了，说了这么多，我来给大家介绍以下其基本的概念吧！吧毕竟是人家的主场。此处，节点与结点无任何本质区别，只有输入法的区别。以以下这副图为例：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、H、I等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m棵互不相交的树的集合称为森林；

以上，重要的概念已被加粗。

相信大家对于大部分概念都能够理解。接下来，我来简单解释一下为什么层次（高度）从一开始，不从零开始。

或许有人受数组影响，高度应该从零开始，不应该从一开始。假如你也这样想，你不妨这样想：如果树只有一个节点，那它的高度为0，那么，树要是没有节点，那它的高度为-1，是不是听着怪怪的。所以，我们规定：树的高度从一开始。

以上的概念，也没有必要强行记忆。各位可在后续实践和学习中遇到问题再来回顾即可。

二、树的性质

学习完概念后，我们就该明白其性质。学习完性质，可以使我们更好的理解树。大家可想一想，树的性质都围绕哪些特点展开？都包含哪一些？树的性质无外乎就围绕：节点和高度展开。以下是基本性质：

        1）树中的结点数等于所有结点的度数之和加1。

        2）度为m 的树中第i层上至多有m^(i-1)个结点（i≥1)。

        3）高度为h的m叉树至多有(m^k-1)/(m-1)个结点，此处k = h。

        4）具有n个结点的m叉树的最小高度为[ logm(n(m - 1)+1)。

5) 具有n个结点的树的最大高度h为n-m+1。

了解了性质后，来一道例题小试牛刀吧！

例题：

在一棵度为4的树T中，若有20个度为4的结点，10个度为3的结点，1个度为2的结点，10个度为1的结点，则树T的叶结点个数是()。

A. 41 B.82 C.113 D.122

先公布答案吧，此题答案为B 82个叶节点。解析如下：

三、二叉树

学习完树的概念，接下来，咱们一起来学习一下二叉树吧。

什么是二叉树呢？在学习完前面树的概念我们可以猜出来：二叉树即度为2的树称之为二叉树。可参考一下图片：

作为程序员的你和女朋友一起爬山时见到上面这颗树，当你女朋友惊叹于大自然的鬼斧神工时，你不和事宜飙出一句：wc，居然是满二叉树。你不由自主拜了一拜希望今后写的代码少些bug。只留下你女朋友在风中凌乱。（这个女朋友可能是广大读者杜撰出来的[doge]）。

看到以上图片和文字，我们不禁要问：什么是满二叉树？别急，马上来问你解答疑惑。

我们学习二叉树，肯定会经历各种各样的树，以下涵盖了各个品种的树：

1)满二叉树。一棵高度为h，且含有2-1个结点的二叉树称为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点，满二叉树的叶结点都集中在二叉树的最下一层，并且除叶结点之外的每个结点度数均为 2。

可以对满二叉树按层序编号:约定编号从根结点(根结点编号为1)起，自上而下，自左向右。这样，每个结点对应一个编号，对于编号为i的结点，若有双亲，则其双亲为Li/2」若有左孩子，则左孩子为 2i;若有右孩子，则右孩子为 2i+1。

2)完全二叉树。高度为h、有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为 1~n 的结点一一对应时，称为完全二叉树其特点如下:

1.若 i≤（n/2），则结点i为分支结点，否则为叶结点。
2.叶结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次中的叶结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
3.若有度为1的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子(重要特征)。按层序编号后，一旦出现某结点(编号为i)为叶结点或只有左孩子，则编号大于的结点均为叶结点。
4.若n为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子;若n为偶数，则编号最大的分支结点(编号为n/2)只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点左、右孩子都有。

3)二叉排序树。左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字;右子树上的所有结点的关键字均大于根结点的关键字;左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。

4)平衡二叉树。树上任意一个结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

咱们目前对于二叉树研究的重点为前两个。

既然明白其种类，那么也应该明白其性质，性质如下：

        1)非空二叉树上的叶结点数等于度为2的结点数加1，即no=n2+1。（此性质在选择题中常用,拓展到任意一棵树，若结点数量为 n，则边的数量为n-1。）
        2)非空二叉树上第k层上至多有2^(k-1)个结点(k>1)。

3)高度为h的二叉树至多有 2"-1个结点(h>1)。

4)对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1,2,…,n，则有以下关系:

        1.当i>1时，结点i的双亲的编号为(i/2)，即当i为偶数时，其双亲的编号为i/2，它是双亲的左孩子;当i为奇数时，其双亲的编号为(i-1)/2，它是双亲的右孩子。

        2.当 2i≤n时，结点i的左孩子编号为2i，否则无左孩子
                当 2i+1≤n时，结点i的右孩子编号为2i+1，否则无右孩子。

                3.结点i所在层次(深度)为(logi)+1。

        5)具有n个(n>0)结点的完全二叉树的高度为[log(n+1)]或 [logn]+ 1。

这里的性质就不过多解释，大部分处于树性质的变形。

来道例题巩固一下吧：

若一棵完全二叉树有 768个结点，则该二又树中叶结点的个数是( )。
A.257 B.258 C.384 D385

答案为： C。解析如下：

四、堆

这里简单介绍一下二叉树的一种结构堆。（注：在现阶段二叉树中只学习堆与二叉树（部分）的实现，以及OJ题，以后的内容会在C++学习，本篇文章，只是先使读者明白概念，其具体实现方式以及讲解会在后续文章中发出，还望理解。）

说起堆，相信大部分读者会想起把柴火或其他物品堆起来的画面，我们发现，其结构似乎与二叉树类似，都有点头重脚轻的。对的，在数据结构中，堆的本质为：完全二叉树。

堆有一下性质：

        堆中每个节点的值都满足堆的性质：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值。

        大跟堆(Max Heap)，父节点的值大于等于其子节点的值。

        小根堆(Min Heap)，父节点的值小于等于其子节点的值。

明白了基本概念，来一道例题吧：

        1.下列关键字序列为堆的是:
        A 100,60,70,50,32,65

        B 60,70,65,50,32,100

        C 65,100,70,32,50,60

        D 70,65,100,32,50,60

        E 32,50,100,70,65,60

        F 50,100,70,65,60,32

此题答案为A。做堆的题，画图为最优解。解析如下：