A Swift and Brutal Introduction to Linear Algebra
计算机图形学依赖于线性代数、微积分、统计...物理方面涉及到光学（波动光学：不再假设光是直线传播，作为一种光波与物体表面材质进行作用接触，如何生成不同的外观）和力学，还涉及到信号处理（分析走样、反走样技术，解决信号处理的事情），数值分析也很重要（解决一些复杂的数学计算：积分、渲染，解决递归定义的积分、模拟仿真、拓展方程...），还需要一点点美学
一个例子
旋转的小蜗，壳上的亮晶晶随着旋转来回摆动，不是匀速旋转，到中间速度达到峰值，不是以固定速度旋转，用到了旋转矩阵的知识
向量
基础认识
名称上有区别，在数学中他叫向量，物理学（照亮世界）的诨名叫矢量，表示方向（B坐标 - A坐标），平移向量不发生变化，还是最初的美好
向量的两个重要属性：方向 + 长度
回忆单位向量，在图形学里用单位向量可直接表示方向（a头顶一个hat，在图形学中用于表示单位向量）
操作
相加
涉及平行四边形法则、三角形法则
表示
笛卡尔坐标系表示向量
X、Y通常垂直且定义成单位向量，好处：可用（4,3）表示向量
向量的缺省设置是列向量（矩阵左乘方便）
为什么这样设置捏？
如果这样定义，两坐标轴垂直，以单位向量为单位，算向量长度就很简单啦
Dot product
在图形学中的应用： 做简单变换，给定两个向量可算出夹角余弦，可帮助我们快速得到两个向量的夹角，在两个向量都是单位向量的时候尤为方便
点乘满足这些定律：
相乘后相加，定律可扩展到高维（2D -- > 3D）
点乘在图形学中的应用：找到两个方向的夹角（光照模型的光照进来的方向，物体表面法线，从哪个方向看）
找到向量的投影长什么样：
现在a、b两个向量方向不一样，希望将b向量投影到a向量上去，假如有一束光线垂直于a向量的方向照射过来，则b向量会在a向量上投射出一片阴影（b在a上的投影），那我们具体应该怎样计算呢？需要用到向量的基本属性：长度和方向，既然b向量投影到a向量上了，那投影一定是沿着a方向的，b perpu（perpendicular）的方向确定，可以用它表示成a向量的单位向量x长度，最终长度为b向量的长度x b向量与a向量夹角的余弦，夹角的余弦用点积求：
算出投影有什么好处呢？
我们可以把一个向量分解成两个向量，一个方向平行于某个方向，另一个方向垂直于某个方向
叉乘，根据平行四边形法则可推导出上面的结果，点乘带来的好处是可以对任意一个向量进行垂直与平行的分解，在图形学中，点乘还可以带来另外的好处：可以计算两个向量的方向有多接近，接近：算两个向量点乘的结果，根据点乘的结果知道两个方向是接近还是远离
点乘还可帮助大家获取前与后的信息
给定向量a的方向，从a的方向上下割据形成两个半圆，如果向量的终点是落在虚线以上的，那可以认为a和b向量都是向前的，c向量的终点落在了下半部分，可以认定a向量和c向量方向基本上是相反的，点乘的好处这就体现出来了：a和b点乘会获得一个正数，a和c点乘会获得一个负数，假如还有一个向量刚好落在虚线上，那最终结果是0
向量的点乘可以告知我们方向性：基本一致，相反，垂直
同样的，点乘还可以告诉我们两个向量有多接近，如果比较接近，点乘出来的结果就会比较接近1，远离后渐渐变成0，再远一点会渐渐变成-1，直到完全变成-1，可以告诉我们值有多接近
那点乘看两个向量是否接近又有什么应用呢？
比如一束光打在一面镜子上，肯定是会反射的，如果眼睛从出射光方向看过去，就会发现一个反光点很亮，如果错开一点点就看不到闪烁的光亮（比如金属的发光，入射光打到金属表面，会反射，在周围观测会得到这样的结果，离远则看不到，需要方法提供两个向量是否接近标准）
Cross product
向量的叉积虽然也是乘法，但是和点积完全不一样的运算
叉积会输入两个向量a和b，会计算出另外一个向量，两向量叉积的结果和原本的两个向量都垂直，即该向量垂直于ab所在的平面内，那方向怎么确定捏？需要根据右手定则来弄了！
什么是右手定则（你不是学过吗）
其实有两种右手定则，一种是伸出三根手指（拇指食指中指），摆成互相垂直的方向
但更为常见的是右手螺旋定则，算叉积从a旋转到b方向，拇指指向的方向就是叉积结果向量的方向，我们可以发现从b到a方向是相反的（叉积并不满足交换律），那向量的叉积有什么作用呢？
我们可以用向量的叉积建立三维空间中的直角坐标系
可以通过x轴叉乘y轴的方式算出z轴，如果x轴和y轴叉乘得到z轴建立三维空间直角坐标系，那这个坐标系就被称为右手坐标系
自己叉乘自己得到零向量
向量叉乘在代数上也可写出，但是相对复杂，a向量叉乘b向量得到的是一个列向量，在笛卡尔坐标系中，向量的叉乘也可以重新写出来，向量的叉乘可以表示成对应的矩阵形式，矩阵相乘一样可得出以上结果
向量的叉积（叉乘）的重要应用：判定左右、判定内外
为什么给定两个向量的叉积就能判定左和右的信息呢？
那怎么判断左右呢？左面这幅图的右手系xyz都有，判定b在a的左侧还是右侧，从直观上看图我们可以判断b向量在a向量的左侧，在数字上如何表示呢？也很简单，就是a叉乘b得到的结果是正的，就可以判定b在a的左侧，反过来则在右侧
判断左右是一方面，叉积还可判断内外，已知有三角形ABC，想要判断P点是否在三角形内部，就需要应用到叉积了，我们可以这样做叉积：AB和AP做叉积，BP和BC做叉积，CP和CA做叉积，得到的结果都是正的，也就是说P点在AB、BC、CA的左边（如果顺时针排布也没关系，如此就是P都在三条边的右边），如果擦边就自己说了算
Orthonormal bases and coordinate frames
定义u、v、w都是单位向量，点乘等于零互相垂直，叉乘后得到三维右手直角坐标系，这样定义有什么好处呢？好处就是我们可以把任意向量分解到这三个坐标轴上去，投影做需要点积
Matrices
计算机图形学很多地方都会涉及到矩阵
矩阵在变换上应用较多，应用矩阵可做基础变换：移动、旋转、缩放...
矩阵是什么捏？
很简单，矩阵是一堆数安排在平面上变成几行几列的结构，上面矩阵三行两列（3×2）
矩阵×数即把矩阵中每个数都×这个数
最困难且有用的操作是矩阵的乘积
给定两个矩阵也要它们能乘才可以 （第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数）
矩阵相乘不满足交换律：
结合律很有用
矩阵和向量相乘（列向量）
通过算变换，将x和y变成-x和y，可用于求镜像
矩阵转置
行列互换，没什么好说的 （乘积转置顺序要做调换）
单位矩阵
单位矩阵基本上不用来做任何操作，但可以用来计算矩阵的逆，两个矩阵相乘得到单位阵，则这两个矩阵互逆
向量的点乘和叉乘都可以写成矩阵形式，叉乘则是A*和b相乘（后续旋转的 推导方面很有用）
场景实例：相机（视角）在场景中移动，可以向各个方向看，涉及到旋转，如何定义相机的运动和变换
哼哼，，，
