二叉搜索树BST ——（C++）

        本篇将会讲解有关二叉树的搜索原理，以及关于二叉搜索树的建立，以及二叉树搜索树的插入、删除和查找等基本操作。最后我们还会对二叉搜索树进行功能扩展，介绍有关搜索二叉树的 K 模型和 KV 模型。目录如下：

目录

1. 搜索二叉树

二叉搜索树概念

二叉树类框架

搜索二叉树的插入

搜索二叉树的查找

搜索二叉树的遍历

搜索二叉树的删除

搜索二叉树所有代码

测试

 2. 搜索二叉树的扩展

中英文查找测试代码

统计单词次数测试代码

1. 搜索二叉树

二叉搜索树概念

        二叉搜索树又称二叉排序树，也可以是一棵空树。对于搜索二叉树具有以下性质：

                1. 若左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于根节点的值；

                2. 若右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于根节点的值；

                3. 它的左右子树也分别是二叉搜索树。

        关于二叉搜索树为什么叫做二叉排序树，这是因为左子树小于根节点，右子树大于根节点（二叉搜索树中的元素默认不会重复），当我们使用中序遍历（左 中 右）的时候，遍历刚好出来是有序的。

二叉树类框架

        建立一颗二叉树，首先需要一个结点的类，然后我们需要使用一个根节点将其维护起来。如下：

template <class K>
struct BSTreeNode {BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}
};template <class K>
class BSTree {
public:typedef BSTreeNode<K> Node;private:Node* _root;
};

搜索二叉树的插入

        关于搜索二叉树的插入，我们只需要找到合适的位置将其插入即可。也就是当我们需要插入的元素大于当前元素的时候，我们就继续往右子树放，反之放在左值树，直到到空结点的时候，我们还需要记录当前搜索结点的父亲结点，便于之后将其连接起来，我们就可以插入元素了。

        注：默认搜索二叉树不含有重复元素，所以当插入重复元素的时候，插入失败。

bool insert(const K& key) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(key);return true;}// 左子树小于根节点，右子树大于根节点Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else {return false;}}cur = new Node(key);if (key < parent->_key)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;return true;
}

搜索二叉树的查找

        查找遵循搜索二叉树的性质，当需要查找的数小于当前结点的时候，我们往左子树查找，当需要查找的数大于当前结点的时候，我们往右边查找。若直到空结点都还没有查找到，那么就查找失败了。如下：

bool find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (key > cur->_key) {cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {cur = cur->_left;}else {return true;}}return false;
}

搜索二叉树的遍历

        搜索二叉树的遍历我们采用中序遍历，因为遍历出来的结果就是有序的。我们使用递归遍历。但是我们需要注意的一点是，我们在遍历的时候，需要访问到根节点，但是若我们在类外想要遍历的时候，我们并不能传一个被 private 保护的根节点的，所以我们需要进行如下的封装，就不需要进行传参了。如下：

template <class K>
class BSTree {
public:typedef BSTreeNode<K> Node;// 中序遍历void InOrder() {_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root) {// 左中右if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root;
};

搜索二叉树的删除

        关于搜索二叉树结点的删除，会存在很多的情况，如：删除的位置是叶子结点，删除的位置左子树为空，删除的位置右子树为空，删除的位置左右子树都不为空，删除的位置为根节点，且左子树或右子树为空。

        所以搜索二叉树的删除实现较为复杂，首先需要找到该位置，若直到空结点都还未找到，则二叉树中并无该元素，删除失败，返回 false；

        若删除的位置是叶子结点，删除的位置左子树为空，删除的位置右子树为空：我们先讨论删除位置的左子树为空，那么删除位置右节点可能不为空，所以删除该位置之后需要将删除位置的父亲结点的指针（可能是左，也可能是右）指向删除结点的右子树。删除位置的右子树为空，那么删除位置左节点可能不为空，所以删除该位置之后需要将删除位置的父亲结点的指针（可能是左，也可能是右）指向删除结点的左子树。当我们实现以上的两种情况的时候，我们发现删除位置是叶子结点的问题也迎刃而解了。

        删除的位置左右子树都不为空：当我们删除位置的左子树和右子树都不为空的时候，我们就需要讨论一个问题，删除该位置之后，左右子树该如何进行连接？答案是找到左子树的最大节点（最右结点）或者找到右子树的最小结点（最左结点）将其替换即可，替换之后在将其删除即可，但是其中还有一个不可忽视的问题，当我们替换之后删除的位置并不是叶子结点的时候，又该如何进行连接呢？以替换删除的结点为右子树的最小结点为例子，我们需要将删除结点的父亲结点指向（可能是左指针也可能是右指针，需要判断）删除结点的右子树。

        删除的位置为根节点，且左子树或右子树为空：当需要删除的结点为根结点且一端的子树为空的时候，我们只需要将根节点往另一个相反的结点移位即可。如下：

        将会对每种情况在代码中注释：

bool erase(const K& key) {// 先寻找key，找到删除，没找到直接返回falseNode* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else {break;}}if (cur == nullptr) return false;// 需要删除位置的左子树或右子树为空if (cur->_left == nullptr) {// 删除位置为根节点if (parent == nullptr) {parent = cur;_root = cur->_right;delete parent;return true;}else {if (parent->_right == cur)parent->_right = cur->_right;elseparent->_left = cur->_right;delete cur;}}else if (cur->_right == nullptr) {if (parent == nullptr) {parent = cur;_root = cur->_left;delete parent;return true;}else {if (parent->_right == cur)parent->_right = cur->_left;elseparent->_left = cur->_left;delete cur;}}else {// 删除左右子树都有元素的结点// 找到右边最小的Node* rightMin = cur->_right;Node* rightMinParent = cur;while (rightMin->_left) {rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 现在的rightMin为右子树最小结点元素std::swap(cur->_key, rightMin->_key);// 若要删除的结点如父亲结点的左结点，链接左边if (rightMinParent->_right == rightMin)rightMinParent->_right = rightMin->_right;elserightMinParent->_left = rightMin->_right;delete rightMin;}return true;
}

搜索二叉树所有代码

template <class K>
struct BSTreeNode {BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}
};template <class K>
class BSTree {
public:typedef BSTreeNode<K> Node;// 构造函数BSTree() : _root(nullptr) {}// 插入、删除、查找、遍历函数bool insert(const K& key) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(key);return true;}// 左子树小于根节点，右子树大于根节点Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else {return false;}}cur = new Node(key);if (key < parent->_key)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;return true;}bool find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (key > cur->_key) {cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {cur = cur->_left;}else {return true;}}return false;}bool erase(const K& key) {// 先寻找key，找到删除，没找到直接返回falseNode* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else {break;}}if (cur == nullptr) return false;// 现在的 cur 是我们需要删除的结点// 若该结点为根节点if (cur->_left == nullptr) {if (parent == nullptr) {parent = cur;_root = cur->_right;delete parent;return true;}else {if (parent->_right == cur)parent->_right = cur->_right;elseparent->_left = cur->_right;delete cur;}}else if (cur->_right == nullptr) {if (parent == nullptr) {parent = cur;_root = cur->_left;delete parent;return true;}else {if (parent->_right == cur)parent->_right = cur->_left;elseparent->_left = cur->_left;delete cur;}}else {// 删除左右子树都有元素的结点// 找到右边最小的Node* rightMin = cur->_right;Node* rightMinParent = cur;while (rightMin->_left) {rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 现在的rightMin为右子树最小结点元素std::swap(cur->_key, rightMin->_key);// 若要删除的结点如父亲结点的左结点，链接左边if (rightMinParent->_right == rightMin)rightMinParent->_right = rightMin->_right;elserightMinParent->_left = rightMin->_right;delete rightMin;}return true;}void InOrder() {_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root) {// 左中右if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root;
};int main() {BSTree<int> bs;vector<int> v({ 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 });for (auto e : v) {bs.insert(e);}bs.InOrder();bs.erase(1);for (auto e : v) {bs.erase(e);bs.InOrder();}bs.InOrder();return 0;
}
测试

 2. 搜索二叉树的扩展

        关于搜索二叉树一共存在两种模型，一种为 K 模型，另一种为 KV 模型，如下：

        K 模型：K 模型即只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值。（也就是上文中实现的搜索二叉树）

        KV 模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。
        关于 KV 模型，比如：英汉词典就是英文与中文的对应关系、统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数。

        关于 KV 模型的实现和 K 模型大同小异，如下：

template <class K, class V>
struct BSTreeNode {BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _value;BSTreeNode(const K& key, const V& value):_left(nullptr),_right(nullptr),_key(key),_value(value){}
};template <class K, class V>
class BSTree {
public:typedef BSTreeNode<K, V> Node;// 构造函数BSTree() : _root(nullptr) {}// 插入、删除、查找、遍历函数bool insert(const K& key, const V& value) {if (_root == nullptr) {_root = new Node(key, value);return true;}// 左子树小于根节点，右子树大于根节点Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else {return false;}}cur = new Node(key, value);if (key < parent->_key)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;return true;}Node* find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (key > cur->_key) {cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {cur = cur->_left;}else {return cur;}}return nullptr;}bool erase(const K& key) {// 先寻找key，找到删除，没找到直接返回falseNode* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur) {if (key > cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key) {parent = cur;cur = cur->_left;}else {break;}}if (cur == nullptr) return false;// 现在的 cur 是我们需要删除的结点// 若该结点为根节点if (cur->_left == nullptr) {if (parent == nullptr) {parent = cur;_root = cur->_right;delete parent;return true;}else {if (parent->_right == cur)parent->_right = cur->_right;elseparent->_left = cur->_right;delete cur;}}else if (cur->_right == nullptr) {if (parent == nullptr) {parent = cur;_root = cur->_left;delete parent;return true;}else {if (parent->_right == cur)parent->_right = cur->_left;elseparent->_left = cur->_left;delete cur;}}else {// 删除左右子树都有元素的结点// 找到右边最小的Node* rightMin = cur->_right;Node* rightMinParent = cur;while (rightMin->_left) {rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 现在的rightMin为右子树最小结点元素std::swap(cur->_key, rightMin->_key);// 若要删除的结点如父亲结点的左结点，链接左边if(rightMinParent->_right == rightMin)rightMinParent->_right = rightMin->_right;elserightMinParent->_left = rightMin->_right;delete rightMin;}return true;}void InOrder() {_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root) {// 左中右if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root;
};
中英文查找测试代码
int main() {BSTree<string, string> bs;string s1 = "insert";string v1 = "插入";string s2 = "right";string v2 = "右边";string s3 = "left";string v3 = "左边";bs.insert(s1, v1);bs.insert(s2, v2);bs.insert(s3, v3);string s;while (cin >> s) {if (bs.find(s))cout << bs.find(s)->_value << endl;elsecout << "没有该单词的含义" << endl;}return 0;
}
统计单词次数测试代码
int main() {string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };BSTree<string, int> bs;for (auto& str : arr) {auto ret = bs.find(str);if (ret == nullptr)bs.insert(str, 1);elseret->_value++;}bs.InOrder();return 0;
}

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