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【NOI2010】能量采集 题解

谨纪念我的第一道手推出来的莫反题。

题目大意：已知 $n$，$m$，求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(2\cdot \gcd (i,j)-1)$。

首先变形一手：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(2\cdot \gcd (i,j)-1)=2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\gcd (i,j)-n\times m$$

然后我们只用求出中间那两个 $\sum$ 就好了。

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\gcd (i,j)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d=1}^{n}d[\gcd (i,j)=d]\\ & =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }[\gcd (i,j)=1]\\ & =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }\sum _{x|\gcd (i,j)}\mu (x)\\ & =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (x)\lfloor \frac{n}{dx}\rfloor \lfloor \frac{m}{dx}\rfloor \end{array}$$

令 $T=dx$，

$$\begin{array}{rl}\sum _{d=1}^{n}d\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (x)\lfloor \frac{n}{dx}\rfloor \lfloor \frac{m}{dx}\rfloor & =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{T=1}^n\mu (\frac{T}{d})\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor [d|T]\\ & =\sum _{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \sum _{d=1}^{n}d\cdot \mu (\frac{T}{d})[d|T]\\ & =\sum _{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \sum _{d|T}d\cdot \mu (\frac{T}{d})\end{array}$$

如何处理后面那个 $\sum$，考虑狄利克雷卷积。不会的可以看我博客。

因为 $\phi \ast I=I{d}_1$，又因 $I\ast \mu =ϵ$，所以

$$\phi =I{d}_1\ast \mu$$

注意到右边那个 $\sum$ 其实就是 $I{d}_1\ast \mu$，即 $\phi$。

所以可化为：

$$\sum _{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \sum _{d|T}d\cdot \mu (\frac{T}{d})=\sum _{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \cdot \phi (T)$$

很明显的整除分块，预处理 $\phi$ 的前缀和就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longconst int N=1e5+5;int n,m;
int cnt,pri[N],phi[N],mu[N],sum[N];
bool flg[N];void init()
{mu[1]=1,phi[1]=1;for(int i=2;i<=N-5;i++){if(!flg[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=N-5;j++){flg[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}mu[i*pri[j]]=-mu[i];phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];}}for(int i=1;i<=N-5;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}int work(int n,int m)
{if(n>m) swap(n,m);int res=0;for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));res+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);}return res;
}signed main()
{init();scanf("%lld%lld",&n,&m);printf("%lld\n",2*work(n,m)-n*m);return 0;
}