广义线性chirplet变换【附MATLAB代码】

文章来源：微信公众号：EW Frontier

摘要

时频分析方法是一种刻画信号时变特征的有效工具，在相当长的一段时间内受到了广泛的关注。随着TF算法的发展，许多先进的方法被提出，可以提供更精确的TF结果。但是，不可避免地会引入一些限制。本文介绍了一种新的TFA方法，称为广义线性线调频小波变换（GLCT），它可以克服现有TFA方法存在的一些局限性。在数值和实验验证中，通过与现有的TFA方法的比较，GLCT的一些优点被证明，包括良好的表征具有明显的非线性特征的多组分的信号，独立于数学模型和初始TFA方法，允许感兴趣的组分的重建，和对噪声不敏感。

引言

信号处理技术作为人们认识物理世界的重要工具，在相当长的一段时间内引起了人们的广泛关注。经典傅里叶变换（FT）是一种标准的工具，通过假设所考虑的信号是平稳的来揭示整体频率内容。然而，平稳的假设在实际中并不总是成立的，而非平稳的概念更接近实际，如旋转机械在非平稳事件下的振动响应（加速、减速甚至故障冲击）、蝙蝠的回声定位信号、人类的语音信号等。对于非平稳情况，从FT获得的总频率不足以描述这些信号，瞬时频率（IF）的概念更适合于表征时变特征。IF的著名定义是由Ville提出的，它描述了信号在某个时刻局部振荡的速度[1]。信号的中频可以由其解析信号的相位的导数来计算，但它只适用于单分量信号。幸运的是，时频分析（TFA）提供了一种替代和强大的解决方案来表征非平稳信号的IF特征[2，3]。这是由于在时频平面上，由时频分析产生的时频表示的能量分布集中在被分析信号的中频处及其附近。然后，所考虑的信号的IF可以从良好建立的TF表示来估计。因此，要精确估计中频特性，关键是TFA方法能获得较高的TF分辨率。有许多类型的TFA方法，它们通常可以分为两类：线性TFA和二次TFA。在经典的线性傅里叶分析中，如短时傅里叶变换（STFT）和小波变换（WT），信号的特征在于具有TF定位能力的原子字典的内积。因此，线性三氟乙酸的TF分辨率主要取决于TF原子。根据Heisenberg测不准原理，线性TFA不能同时实现任意高的TF分辨率。这就是说，精细的频率分辨率导致粗略的时间分辨率，反之亦然。传统的线性TFA是建立在所考虑的信号在短时间内分段平稳的假设上的。这意味着它们基本上使用水平线来近似IF特征。然而，对于强调制频率信号，信号的IF在短窗口中也是时变的，这将导致差的TF分辨率[4，5]。在经典的二次TFA中，如WVD，它是信号的瞬时自相关函数的FT。对于单分量信号，WVD方法可以得到高TF分辨率的TF表示，但在处理多分量信号时，不可避免地会同时引入交叉项。

从以上分析可以看出，传统的TFA方法由于其固有的限制而不足以提供具有高分辨率的TF表示。为了提高TFA方法的性能，人们在过去的许多年里做了很多努力，提出了许多有效的方法。这些方法一般可以分为两种策略：TF重分配和参数化TFA。

TF再分配方法属于后处理技术，可以明显提高TF表示的可读性[6，7]。重新分配算子旨在通过将域中的能量平均值分配给这些能量贡献的重心来锐化TF表示。因此，重新分配后的TF结果更接近信号的真实IF。最近，随着现代信号处理技术的发展，Maes和Daubechies提出了一种基于相位的重新分配技术，他们称之为同步压缩变换（SST），具有允许直接提取和重建的额外优点[8，9]。通过重构的基本数学公式，SST比不存在重构的传统重分配方法更有吸引力。SST已成功应用于许多领域，如ECG信号分析[10]、微地震信号分析[11]和旋转机械故障诊断[12]等。然而，强烈调制的频率分量和噪声会严重破坏信号的原始TF表示。作为一种后处理工具，这些都会破坏SST的结果。这一点在许多研究中都得到了证实[12-14]。为了克服这些缺点，已经建立了几种改进的方法。如参考文献[12]所示，SST仅限于重新分配TF表示的频率变量，但忽略时间变量，因此SST在处理纯谐波信号时仅创建良好的TF表示。基于这一观察，Li [12，15]提出了一种广义SST，通过引入一个解调算子，将时变频率转化为常频，从而得到理想的TF表示。为了处理具有不同调制频率的多分量信号，采用了广义解调方法[32]，并提出了迭代通用SST [16]。然而，应该指出的事实是，在大多数实际情况下，信号的调制频率不能预先知道。这意味着我们无法获得实际信号的精确解调算子。因此，一般SST的实用性将打折扣。

参数化的TF分析方法的灵感来自于STFT和CWT采用不同的分析窗口（如不同的宽度和啁啾率）可以获得不同的TF分辨率。如果我们选择合适的窗函数，它可以与所考虑的信号的固有特性相一致，所获得的TF表示将有一个更高的TF分辨率。因此，参数化TFA的发展方向是识别信号的内在特征和构造窗函数。Chirplet变换（CT）是由文献[1]设计的。[17，18]。通过使用一个额外的参数，啁啾率，CT是能够创建一个良好的集中TF表示的线性调制信号。亨利[19]提出了一种自适应TFA方法，通过使用最大似然估计来选择分析窗口的最佳宽度和啁啾率。Chassande—Mottin和派[20]开发了一种根据信号的TF特征搜索最佳啁啾率的算法。Candes [21]提出了线调频波路径追踪方法来检测高振荡信号。

可以看出，早期的参数化TF A方法利用分段线性窗口来近似时变TF特征。然而，当遇到强非线性信号时，它不是一个好的选择。在文献[14]中，Wang提出了一种称为匹配解调变换（MDT）的方法。MDT方法利用时变解调算子来描述中频的非线性特征，可以显著提高TF表示的能量集中度。并行地，通过引入参考文献[22]中的旋转算子和移位算子，它允许构造非线性窗函数。如果使用与信号一致的非线性模型，则可以产生具有更好集中能量的TF表示。Peng等人提出了几种非线性数学模型来描述多种类型的分析信号的内在特征，如多项式模型[22]、样条模型[23]和广义小波模型[24]，他们将这些方法统一称为广义参数化TFA（GPTFA）[25]。虽然GPTFA在分析强非线性中频信号时表现出很强的TF分辨率，但它的一些局限性也不容忽视。由于实际情况的复杂性和多样性，我们不能用一个单独的数学模型来描述所有类型的测量信号.此外，一个建立良好的模型只适用于信号中指定的单分量，因此它不能处理具有不同中频特性的多分量信号。此外，参数化模型需要从传统的TFA中估计，因此需要具有公平能量集中的初始TFA，否则将无法估计精确模型。在这些限制下，GPTFA仍有很大的改进空间。

SST和GPTFA作为近年来发展起来的TFA技术，虽然能够更精确地分析信号的复杂结构，但其固有的局限性也不容忽视。考虑到它们的缺点，TFA方法的改进和发展应针对以下能力：（1）良好地表征具有明显非线性特征的多组分信号;（2）独立于数学模型和初始TFA方法;（3）允许感兴趣组分的重构;（4）尽可能地对噪声不敏感。