【C++】每日一题 17 电话号码的字母组合

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串,返回所有它能表示的字母组合。答案可以按 任意顺序 返回。

给出数字到字母的映射如下(与电话按键相同)。注意 1 不对应任何字母。

在这里插入图片描述
可以使用回溯法来解决这个问题。首先定义一个映射关系将数字与字母对应起来,然后使用回溯算法来生成所有可能的组合。

回溯算法是一种通过不断尝试各种可能性来解决问题的方法,通常用于求解组合、排列、子集等问题。它通过深度优先搜索的方式探索问题的所有解空间,并在搜索过程中进行剪枝,从而有效地找到满足特定条件的解。

下面是回溯算法的一般步骤:

选择路径: 从问题的初始状态出发,按照某种规则选择一个候选解的路径,即在问题的解空间中前进一步。

探索路径: 在当前选择的路径上继续向前探索,查找可能的解或部分解。

约束条件: 在探索过程中,判断当前路径是否满足问题的约束条件。如果不满足,则放弃该路径,回退到上一步,继续探索其他路径。

标记状态: 在进入下一层递归之前,通常需要修改问题的状态,以便记录当前路径的选择或处理过程。

回退路径: 当探索到底或者无法继续前进时,需要回退到上一层,撤销当前路径的选择,返回上一层继续探索其他路径。

结束条件: 当搜索到达问题的解空间的边界或者满足特定条件时,结束搜索,得到最终的解或者部分解。

回溯算法的核心思想是通过不断地选择、探索、回退和标记状态,逐步地搜索问题的解空间,直到找到所有满足条件的解或者确定无解。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>using namespace std;// 定义数字与字母的映射关系
vector<string> keypad = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};// 回溯算法生成所有可能的组合
void backtrack(vector<string>& result, string& digits, string current, int index) {// 如果当前组合的长度等于输入数字的长度,则将当前组合加入结果集if (index == digits.length()) {result.push_back(current);return;}// 获取当前数字对应的字母集合string letters = keypad[digits[index] - '0'];// 遍历当前数字对应的每一个字母,进行回溯for (char letter : letters) {current.push_back(letter); // 添加当前字母到当前组合中backtrack(result, digits, current, index + 1); // 递归处理下一个数字current.pop_back(); // 回溯,撤销当前字母}
}vector<string> letterCombinations(string digits) {vector<string> result;if (digits.empty()) return result; // 如果输入为空,则直接返回空结果集string current = "";backtrack(result, digits, current, 0); // 调用回溯算法生成所有可能的组合return result;
}int main() {string digits = "23";vector<string> combinations = letterCombinations(digits);cout << "所有可能的字母组合:" << endl;for (const string& combination : combinations) {cout << combination << " ";}cout << endl;return 0;
}

时间空间复杂度分析

假设输入数字串的长度为 ( n ),每个数字对应的字母集合的平均长度为 ( m )。

时间复杂度分析:
回溯算法:
对于每个数字,我们都需要尝试其对应的所有字母,这需要 ( O(m) ) 的时间。
由于有 ( n ) 个数字,因此总共的时间复杂度为 ( O(m^n) )。
结果集合生成:
生成结果集合的过程中,需要将所有可能的组合添加到结果集中,这也需要 ( O(m^n) ) 的时间。
综合起来,整个算法的时间复杂度为 ( O(m^n) )。

空间复杂度分析:
递归调用栈:
递归调用栈的深度最多为输入数字串的长度 ( n ),因此需要额外的 ( O(n) ) 的空间。
结果集合:
存储结果集合所需的空间取决于结果的数量。最坏情况下,结果数量为 ( O(m^n) ),因此需要 ( O(m^n) ) 的空间。
综合起来,整个算法的空间复杂度为 ( O(m^n) )。

总的来说,这个算法的时间和空间复杂度都是指数级别的,随着输入规模 ( n ) 和每个数字对应的字母集合的大小 ( m ) 的增加,其运行时间和所需空间将急剧增加。

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