第五章 树

一、树
1.定义：n个结点的集合，n=0为空树；是递归的，是一种逻辑结构，同时也是一种分层结构；

• 特点
  • 树的根结点没有前驱结点，除了根结点外的所有结点有且只有一个前驱结点；
  • 树的所有结点可以有0个或者多个后继结点；
  • 树适合于表达具有层次结构的数据；
  • 除根结点外，分支结点又叫内部结点。

2.树的术语

• 结点：一个数据元素及其若干指向其子树的分支；如图中有17个结点；
• 结点的度、树的度：结点所拥有的子树棵数称为结点的度；树中结点度的最大值称为树的度；如图中A的度是3、B是2、Q是0；
  
• 叶子结点：度为0（不为0的是非叶子结点）；
• 孩子结点、双亲结点、兄弟结点点、（层次）堂兄弟结点（像族谱）；
  • 同一双亲结点的所有子结点互称为兄弟结点；
  • 同一层次的所有结点互称为堂兄弟结点（其子结点在+1层）；
• 结点的层次路径、祖先、子孙
  • 层次路径：从根结点到达某结点（例如p点）所经过的所有结点成为结点（p）的层次路径（有且只有一条）；
  • 结点（p）的层次路径上所有的结点（不包括p）都称为p的祖先；
  • 以某结点为根的子树中任意结点都是该根结点的子孙结点。
• 结点的深度：从根结点，自顶向下逐层累加；
• 结点的高度：从叶节点，自底向上逐层累加；
• 有序树和无序树：顾名思义，有序和无序之分；
• 森林：类似于把树的根结点去除，剩下的子树便成了深林。

3.树的性质：

• 树中的结点数等于所有结点的度数和加1；
• 度为m的树中第i层上至多有 mⁱ⁻¹个结点(i≥1)；
• 高度为h的m叉树至多有 mʰ-1/m-1个结点，例如二叉树最多为二个分支；
• 具有n个结点的m叉树的最小高度为 logₘ(n(m-1)+1；

二、二叉树
1.定义：另外一种树形结构，每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点），且子树有左右之分，次序不可随意颠倒；二叉树是n个结点的有限集合，n=0为空树；

• 有且只有一个根结点；
• n>1时，其余结点被分为两互不相交的子集，也是递归的；

2.满二叉树：深度为k，且有2ᵏ-1个结点；

• 特点
  • 每层都是最大结点数；
  • 所有支结点都有左右子树；
  • 可以对结点进行编号，自上而下，自左而右。

3.平衡二叉树：树上任意一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。
4.完全二叉树：简单来说，与满二叉树的结构不同就在于，完全二叉树可以不满；也就是说完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特例；

• 特点
  • 若完全二叉树的深度为k，则所有的叶子结点都出现在第k层或k-1层。对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左子树的最大层次为或l+1；
  • 若i<=|n/2|，则结点i为分支结点，否则为叶子结点；
  • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层的最左边的位置;
  • 如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子;
  • 按层序编号后，一旦出现某结点(其编号为i)为叶子结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶子结点。

5.二叉树的性质

• 在非空二叉树中，第i层上至多有2ⁱ-1个结点(i≧1)； 深度为k的二叉树至多有2ᵏ-1个结点(k≧1)；
• ▲[mark]对任何一棵二叉树，若其叶子结点数为n₀,度为2的结点数为n₀，则n₀=n₂+1；[/mark]
• n个结点的完全二叉树深度为：（向下取整log₂n）+1或向上取整log₂(n+1)；例如3.5向上取整是4，向下取整是3。

6.二叉树的存储

• 顺序存储：完全二叉树和满二叉树比较适合这个方法；

  • 最坏情况：深度为k且只有k个结点的单支树需要的长度为2ᵏ-1的一维数组；

• 链式存储

  • 二叉链表：三个域：一个数据域，分别指向左右子结点的指针域；
  • 三叉链表：在二叉链表基础上再加一个指针域，用来指向结点的父结点；

7.遍历二叉树：按一定规律对二叉树每个结点访问一次且仅访问一次；

• 方法▲
• DLR——先（根）序遍历：根左右，时间复杂度O(n)；
• LDR——中（根）序遍历：左根右，时间复杂度O(n)；
• LRD——后（根）序遍历：左右根，时间复杂度O(n)；
• 层次遍历：需要借助一个队列：自上而下，从左到右。
  

三、树与森林
1.树的存储结构

• 双亲表示法（顺序存储结构）:在每个结点中附加一个指示器（整数域）；
  
  
• 孩子链表表示法：每个结点有多个指针域，每个指针指向其一棵子树的根结点；
  
  2.森林与二叉树的转换
• 树转成二叉树
  • 步骤：
    • 加虚线：兄弟间加虚线；
    • 去连线：除最左的第一个结点外的父结点与其点的连线全部去掉；
    • 旋转：顺时针旋转45°，原有的实线左斜；
    • 整型：将旋转后树中的虚线改为实线并向右斜。
  • 特点：无右子树，只有左子树。
• 二叉树转成树
  • 步骤
    • 加虚线：若某结点i是其父结点的左子树的根结点，则将该结点i的右子结点以及沿右子链不断地搜索所有的右子结点，将所有这些右子结点与i结点的父结点之间加虚线相连；
    • 去连线：去掉二叉树中所有父结点与其右子结点之间的连线；
    • 规整化。将各结点按层次排列且将所有的虚线变成实线。
      
      
• 森林转二叉树：相当于树转二叉树；
  
• 二叉树转森林：相当于二叉树转树；
  

3.树和森林的遍历（看树和森林的遍历与二叉树遍历的关系就懂了）；

四、树的应用（赫夫曼树、最优树）
1.基本概念：是一类带权路径长度最短的树；

• 结点路径：树中结点到结点的路径；
• 路径长度：看有多少个分支；
• 树的路径长度：树根到每个结点的和；
  结点的带权路径长度：权值乘以从该结点到树根结点之间的路径长度；
  树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径的长度之和。

2.哈夫曼树算WPL值

3.哈夫曼树的构造（最优树）

4.哈夫曼编码（Huffman）

• 特点：编码要尽可能短，长短不等，任意字符的编码不是另一个编码的前缀（前缀编码）；

5.例题：一棵度为2的树与一棵二叉树有什么区别?
答案:
1、度为2的树是不区分左子树和右子树.而二叉树是要分左子树和右子树的；
2、度为2的数不包含空树,而二叉树是可以有空树的；总之，二叉树的定义要比度为2的树定义更为严格,更为详细。