二叉搜索数使用,底层原理及代码实现

1:二叉搜索树的定义

二叉搜索树的底层是一个二叉链表

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树 ，或者是具有以下性质的二叉树 :
  1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树

举个例子,我们要把数组[50,87,64,100,24,35,1,77]插入到二叉搜索树中,对应的树应该是这个样子

2.二叉搜索树的特点

  1. 既然以搜索树为名字,显然搜索功能是很强大的(相较于数组的搜索),对于二叉树的每一个节点来说其左子树的任意值绝对小于根节点,右子树的任意值绝对大于根节点,如果我们要查找一个值,该值比根节点小的话去左子树找,比根节点大的话去右子树找,如果二叉搜索树是一颗满二叉树的话,搜索的时间复杂度将为log(N),相当于从全世界70亿人中找一个人仅用了30次操作.
  2. 因为二叉树的左子树的任意值绝对小于根节点,右子树的任意值绝对大于根节点,所以其中序遍历即为升序数组,搜索树理论上不可以同时存在多个相同的元素,因为这是没有意义的,所以严格来说,这是一个无重复元素的升序数组

3.二叉搜索树的底层原理

插入

显然原树在执行完插入操作后仍应该是二叉搜索树,为了不破坏原树的结构,对于根节点来说,如果插入值大于根节点,应该往右插入,插入值小于根节点,应该往左插入.直到最后1.找到的节点为空,代表应该向空节点处插入2.存在节点值 == 插入值,这样的插入是无意义的,插入失败!

以上图为例,如果要插入一个76

模拟实现

/*	template <class T>//二叉搜索的节点struct TreeNode {typedef TreeNode<T> Node;Node* _left;Node* _right;T  _val;//构造函数TreeNode(T val = T()):_left(nullptr),_right(nullptr),_val(val){}};
*/bool insert(T val) {if (_root == nullptr){_root = new Node(val);}Node* child = _root;Node* parent = _root;while (child != nullptr) {parent = child;if (val < child->_val)	//val比根节点小,往左走{child = child->_left;}else if (val > child->_val)	//val比根节点大,往右走{child = child->_right;}else {return false;	//val与根节点相等,二叉搜索树中不许存在相同元素,所以不可插入,返回假}}if (parent->_val < val)	parent->_right = new Node(val);else if (parent->_val > val)	parent->_left = new Node(val);return true;	//插入成功
}

查找

查找与插入很类似,大于的话去右边找,小于的话去左边找,找到了返回节点,没找到返回nullptr

以找64为例

模拟实现

/*	template <class T>//二叉搜索的节点struct TreeNode {typedef TreeNode<T> Node;Node* _left;Node* _right;T  _val;//构造函数TreeNode(T val = T()):_left(nullptr),_right(nullptr),_val(val){}};
*/Node* find(T val) {Node* tmp = _root;while (tmp != nullptr) {if (val == tmp->_val)return tmp;	//找到啦else if (val > tmp->val) {tmp = tmp->_right;		//val大于该节点的值,去右子树找}else {tmp = tmp->_left;		//val小于该节点的值,去左子树找}}return nullptr;		//树里没有val,不存在该节点
}

删除

这边我们重画一个比较大一些的搜索二叉树以便于举例,数据很简单,1到16

首先,当删去8时,其余的所有节点都仍旧符合搜索二叉树的定义,删去其他叶子节点有相同的效果,同理,在删去2节点时,理论上来说仅有2的子树受到影响,搜索树的其他部分仍旧符合定义.

再以删去九号节点为例,由于二叉树的定义,删去九号节点后新节点的值必须满足除自身外,左子树都小于其,右子树都大于其.

由上图为例,对二叉树进行分析可得:除8外的左树<8<9<10<除10外的右树,也就是说:

左子树的右边的右边的右边的......的叶节点和右子树左边的左边的.......的叶节点最适合做根节点

特殊情况1:左子树没有右节点

使用左子树自身的根节点即可.

特殊情况2:没有左子树&&只有一个孩子节点

上图为删除节点4的示意图,可以看出,4号节点没有左子树,此时4号节点仅有一个子节点,直接让子节点代替自己即可


模拟实现

		bool earse(const T& val) {Node* parent = _root;Node* child = _root;while (child!= nullptr) {if (val > child->_val){parent = child;child = child->_right;}else if (val < child->_val){parent = child;child = child->_left;}else   //相等{if (child->_left == nullptr){if (child == _root)_root = child->_right;else {if (parent->_left == child)	parent->_left = child->_right;else if (parent->_right == child)	parent->_right = child->_right;}delete child;}else if (child->_right == nullptr) {if (child == _root)_root = child->_left;else {if (parent->_left == child)	parent->_left = child->_left;else if (parent->_right == child)	parent->_right = child->_left;}delete child;}else {Node* tmp = child->_left;Node* pp = tmp;while (tmp->_right) {pp = tmp;tmp = tmp->_right;}child->_val = tmp->_val;if (pp != tmp)pp->_right = tmp->_left;delete tmp;}return true;}}return false;}

高度(不重要)

	public:size_t height() {return _height(_root);}private:size_t _height(Node* root) {if (root == nullptr)return 0;elsereturn _height(root->_left) + _height(root->_right) + 1;}

节点个数(不重要)

	public:size_t size() {return _size(_root);}private:size_t _size(Node* root) {if (root == nullptr)return 0;return _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1;}

打印(不重要)

void print() {std::queue<Node*> q1,q2;q1.push(_root);while (!q1.empty() || !q2.empty()) {while (!q1.empty()) {if (q1.front() == nullptr)std::cout << '#' << ' ';else {q2.push(q1.front()->_left);q2.push(q1.front()->_right);std::cout << q1.front()->_val << ' ';}q1.pop();}std::swap(q1,q2);std::cout << std::endl;}}

搜索二叉树模拟实现

#include <queue>
#include <iostream>
namespace SearchTree {template <class T>//二叉搜索的节点struct TreeNode {typedef TreeNode<T> Node;Node* _left;Node* _right;T  _val;//构造函数TreeNode(T val = T()):_left(nullptr),_right(nullptr),_val(val){}};template <class T>class SearchTree {typedef TreeNode<T> Node;Node* _root;	//根节点public:SearchTree():_root(nullptr){}		//构造函数bool insert(T val) {if (_root == nullptr){_root = new Node(val);}Node* child = _root;Node* parent = _root;while (child != nullptr) {parent = child;if (val < child->_val)	//val比根节点小,往左走{child = child->_left;}else if (val > child->_val)	//val比根节点大,往右走{child = child->_right;}else {return false;	//val与根节点相等,二叉搜索树中不许存在相同元素,所以不可插入,返回假}}if (parent->_val < val)	parent->_right = new Node(val);else if (parent->_val > val)	parent->_left = new Node(val);return true;	//插入成功}bool earse(const T& val) {Node* parent = _root;Node* child = _root;while (child!= nullptr) {if (val > child->_val){parent = child;child = child->_right;}else if (val < child->_val){parent = child;child = child->_left;}else   //相等{if (child->_left == nullptr){if (child == _root)_root = child->_right;else {if (parent->_left == child)	parent->_left = child->_right;else if (parent->_right == child)	parent->_right = child->_right;}delete child;}else if (child->_right == nullptr) {if (child == _root)_root = child->_left;else {if (parent->_left == child)	parent->_left = child->_left;else if (parent->_right == child)	parent->_right = child->_left;}delete child;}else {Node* tmp = child->_left;Node* pp = tmp;while (tmp->_right) {pp = tmp;tmp = tmp->_right;}child->_val = tmp->_val;if (pp != tmp)pp->_right = tmp->_left;delete tmp;}return true;}}return false;}Node* find(T val) {Node* tmp = _root;while (tmp != nullptr) {if (val == tmp->_val)return tmp;	//找到啦else if (val > tmp->val) {tmp = tmp->_right;		//val大于该节点的值,去右子树找}else {tmp = tmp->_left;		//val小于该节点的值,去左子树找}}return nullptr;		//树里没有val,不存在该节点}void print() {std::queue<Node*> q1,q2;q1.push(_root);while (!q1.empty() || !q2.empty()) {while (!q1.empty()) {if (q1.front() == nullptr)std::cout << '#' << ' ';else {q2.push(q1.front()->_left);q2.push(q1.front()->_right);std::cout << q1.front()->_val << ' ';}q1.pop();}std::swap(q1,q2);std::cout << std::endl;}}size_t size() {return _size(_root);}size_t height() {return _height(_root);}private:size_t _size(Node* root) {if (root == nullptr)return 0;return _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1;}size_t _height(Node* root) {if (root == nullptr)return 0;elsereturn std::max(_height(root->_left) , _height(root->_right)) + 1;}};
}

对搜索二叉树的分析及AVL树红黑树的优势

参考我在前文查找处的分析可得，查找的时间复杂度与树的高度，空间复杂度恒为o(1)，当插入从a到b的值是，优先输入[a,b]中间的值，后输入接近a,b的极端值，此时树较为平衡，查找的时间复杂度接近o(logn)，而当数据有序的进行插入时，树相当于一个链表，时间复杂度较高，为（o(n)）

举个例子，当把数据[1,2,3,4,5,6,7]插入二叉树时

以[4,2,1,3,6,5,7]插入时，如果我们要查找7，需要进行三次判断即可，

以[1,2,3,4,5,6,7]插入时，如果我们要查找7，需要进行七次判断！！！！时间复杂度为o(n)，再加上额外的空间开销，还不如直接在原数组中查找

如果有一种改进的插入方式可以在插入时，依据原树的高度差进行动态的重构树结构，便可大大加快查找速度

附：AVL树模拟实现（供参考）

#include <queue>
#include <iostream>
#include <assert.h>
namespace AVL {template<class T>struct AVLTreeNode{AVLTreeNode(const T& data = T()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}AVLTreeNode<T>* _pLeft;AVLTreeNode<T>* _pRight;AVLTreeNode<T>* _pParent;T _data;int _bf;   // 节点的平衡因子};// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制template<class T>class AVLTree{typedef AVLTreeNode<T> Node;public:AVLTree(): _pRoot(nullptr){}void print() {std::queue<Node*>q1;std::queue<Node*>q2;q1.push(_pRoot);while (!q1.empty() || !q2.empty()) {while (!q1.empty()){if (q1.front() != nullptr) {std::cout << q1.front()->_data << ' ';q2.push(q1.front()->_pLeft);q2.push(q1.front()->_pRight);}elsestd::cout << '#' << ' ';q1.pop();}swap(q1, q2);std::cout << std::endl;}}// 在AVL树中插入值为data的节点bool Insert(const T& data) {Node* node = new Node(data);if (_pRoot == nullptr) {_pRoot = node;return true;}Node* parent = _pRoot,*child = _pRoot;while (child) {parent = child;if (child->_data > data)	child = child->_pLeft;else if (child->_data < data)	child = child->_pRight;else return false;}if (parent->_data < data){parent->_pRight = node;}else{parent->_pLeft = node;}node->_pParent = parent;while (parent) {if (node == parent->_pLeft)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0)break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)node = parent, parent = parent->_pParent;else {		//出问题了if (parent->_bf == -2 && node->_bf == -1) {RotateR(node);}else if (parent->_bf == -2 && node->_bf == 1){RotateLR(node);}else if (parent->_bf == 2 && node->_bf == 1) {RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && node->_bf == -1) {RotateRL(node);}else {//   树损坏}}}return true;}// AVL树的验证bool IsAVLTree(){return _IsAVLTree(_pRoot);}private:// 根据AVL树的概念验证pRoot是否为有效的AVL树bool _IsAVLTree(Node* pRoot) {std::queue<Node*> q;q.push(pRoot);while (!q.empty()) {if (q.front() == nullptr){q.pop();continue;}if (q.front()->_bf >= 2 || q.front()->_bf <= -2){return false;}else {q.push(q.front()->_pLeft);q.push(q.front()->_pRight);q.pop();}}return true;}size_t _Height(Node* pRoot) {size_t h = 0;std::queue<Node*> q1;std::queue<Node*> q2;q2.push(pRoot);while (!q1.empty()&&!q2.empty()) {while (!q1.empty()){if (q1.front() != nullptr){q2.push(q1.front()->_pLeft);q2.push(q1.front()->_pRight);}q1.pop();}std::swap(q1, q2);h++;}q1.empty();q2.empty();return h - 1;}// 左单旋void RotateL(Node* pParent) {//新的头节点Node* new_Parent = pParent->_pRight;//旧头结点的父节点Node* grand = pParent->_pParent;//修改pParent的父节点if (grand != nullptr){if (grand->_pLeft == pParent)grand->_pLeft = new_Parent;elsegrand->_pRight = new_Parent;}else {_pRoot = new_Parent;}// 修改pParent节点pParent->_pParent = new_Parent;pParent->_pRight = new_Parent->_pLeft;//修改new_Parent节点if(new_Parent->_pLeft!=nullptr)new_Parent->_pLeft->_pParent = pParent;new_Parent->_pLeft = pParent;new_Parent->_pParent = grand;pParent->_pParent = new_Parent;pParent->_bf = new_Parent->_bf = 0;}// 右单旋void RotateR(Node* pParent) {//新的头节点Node* new_Parent = pParent->_pLeft;//旧头结点的父节点Node* grand = pParent->_pParent;//修改pParent的父节点if (grand != nullptr){if (grand->_pLeft == pParent)grand->_pLeft = new_Parent;elsegrand->_pRight = new_Parent;}else {_pRoot = new_Parent;}// 修改pParent节点pParent->_pParent = new_Parent;pParent->_pLeft = new_Parent->_pRight;//修改new_Parent节点if(new_Parent->_pRight!=nullptr)new_Parent->_pRight->_pParent = pParent;new_Parent->_pRight = pParent;new_Parent->_pParent = grand;pParent->_pParent = new_Parent;pParent->_bf = new_Parent->_bf = 0;}// 右左双旋void RotateRL(Node* pParent) {RotateR(pParent);RotateL(pParent->_pParent->_pParent);}// 左右双旋void RotateLR(Node* pParent) {RotateL(pParent);RotateR(pParent->_pParent->_pParent);}protected:Node* _pRoot;};
}

结语

截止至结语，本文已有接近1万字，制作不易可以留个免费的赞吗

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