组合数学汇总

阶乘、排列、组合

阶乘

$\Pi_{i:1}^xi$ 。特殊情况0的阶乘是1。

排列

排列 $P_n^m$ ，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列。第一个元素有n种选择，第二个元素有n-1种选择， $\cdots$
$P_n^m = \Pi_{i:n-m+1}^ni= n!\div (n-m)!$

组合

$C_n^m$ 从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素为一组。m个元素的顺序有m!种。故：
$P_n^m \equiv C_n^m \times m!$

多数组合

以求单词的异构词为例。cnt记录26个字母的出现次数。则异构词的数量：
$total[x]=\sum_{i:0}^{x-1}cnt[i]$
$异构词的数量=\Pi_{i:0}^{26}C_{totax[26]-total[i]}^{cnt[j]}$
就是每个字符的组合相乘。

封装类

template<class T >
class CFactorial
{
public:CFactorial(int n):m_res(n+1){m_res[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {m_res[i] = m_res[i - 1] * i;}}	T Com(int iSel, int iCanSel) {return m_res[iCanSel] / m_res[iSel]/ m_res[iCanSel - iSel];}T Com(const vector<int>& cnt) {T biRet = 1;int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);iCanSel -= cnt[j];}return biRet;}vector<T> m_res;
};

帕斯卡法则及容斥原理

【数学归纳法组合数学】容斥原理

封装类

template<class Result = C1097Int<> >
class CCombination
{
public:CCombination(){m_v.assign(1, vector<Result>(1,1));}Result Get(int sel, int total){assert(sel <= total);while (m_v.size() <= total){int iSize = m_v.size();m_v.emplace_back(iSize + 1, 1);for (int i = 1; i < iSize; i++){m_v[iSize][i] = m_v[iSize - 1][i] + m_v[iSize - 1][i - 1];}}return m_v[total][sel];}
protected:vector<vector<Result>> m_v;
};

阶乘求组合，初始化时：时间复杂度O(n)，查询时：时间复杂度O(3)。
帕斯卡法则求阶乘，初始化时：时间复杂度O(nn)，查询时：时间复杂度O(1)。
阶乘求组合用的乘法，帕斯卡法则用的加法，乘法比加法复杂。

题解

排列、组合、多数组合
【归并排序】【图论】【动态规划】【深度优先搜索】1569将子数组重新排序得到同一个二叉搜索树的方案数
【数学排列组合】1643. 第 K 条最小指令
【数学】【组合数学】1830. 使字符串有序的最少操作次数
【树图论阶乘组合深度优先搜索】1916. 统计为蚁群构筑房间的不同顺序
【多数组合数学字符串】2514. 统计同位异构字符串数目

容斥原理
【状态压缩容斥原理组合数学】3116. 单面值组合的第 K 小金额

其它
【动态规划】C++ 算法458:可怜的小猪
【动态规划】【组合数学】【C++算法】920播放列表的数量
【深度优先搜索】【组合数学】【动态规划】1467.两个盒子中球的颜色数相同的概率
【动态规划】【组合数学】1866. 恰有 K 根木棍可以看到的排列数目
【动态规划】【前缀和】【分组】2338. 统计理想数组的数目
[组合数学]LeetCode:2954:统计感冒序列的数目
【组合数学】2842. 统计一个字符串的 k 子序列美丽值最大的数目

扩展阅读

视频课程

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我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛