S型曲线的几种设计（图像对比度调节）

一般来讲，图像调色模块都会提供“曲线”工具，这是一个极其灵活的功能，绝大部分的调色都可以通过该工具实现，但是曲线功能的交互相对而言比较复杂。出于简便性和效率方面的考量，调色模块往往还会提供一些具有很强的功能倾向性，但是交互很简单，一个滑竿就可以搞定的功能，如“对比度，色温，色调，高光，阴影，黑点，白点，等等等等”。

本文要讲的S型曲线就常用于增强对比度，对于灰蒙蒙的图片，提高对比度能够起到一定去灰，增加通透感的作用。

一般来说，用于增强对比度的S型曲线要具备以下一些性质：

曲线要位于[0, 1]之间。
过(0, 0)和(1, 1)两个点。
有一个旋转支点，位于y=x上，记为(pivot, pivot)。

下面提供一些符合以上性质的S型曲线设计思路。

一、指数型S曲线

1. 必过(0.5, 0.5)的指数曲线

公式：
$\frac{x^p}{x^p+(1-x)^p}$
其导数：
$\frac{px^p(1-x)^p}{x(1-x)[x^p+(1-x)^p]^2}$

该曲线的性质：

当p>1时是正S型曲线；当0<p<1时是反S型曲线；当p=1时变为y=x。
旋转支点必为(0.5, 0.5)，也就是说该公式没有提供参数可以让我们任意指定旋转支点。
支点处的斜率等于p，将x=0.5代入导数公式即可得。
当p>1时，x=0和x=1处的导数为0，同样带入导数公式可得。

请添加图片描述

2. 可过任意支点的指数曲线

公式（分段函数）：
$\begin{aligned} y &= pivot(\frac{x}{pivot})^p, {0<x<=pivot} \\[2ex] y &= 1-(1-pivot)(\frac{1-x}{1-pivot})^p, {pivot<x<=1} \end{aligned}$

其导数：
$\begin{aligned} y' &= p(\frac{x}{pivot})^{p-1}, {0<x<=pivot} \\[2ex] y' &= p(\frac{1-x}{1-pivot})^{p-1}, {pivot<x<=1} \end{aligned}$

该曲线的性质：

当p>1时是正S型曲线；当0<p<1时是反S型曲线；当p=1时变为y=x。
旋转支点为(pivot, pivot)。
支点处的斜率等于p，且支点处的函数值和斜率都是连续的，将x=pivot代入上述公式和导数公式即可得。
当p>1时，x=0和x=1处的导数为0。

请添加图片描述

使用该曲线调整一张图片示例如下（pivot=0.435，p=2），上图是原图，下图是调节后的效果。
容易看出，增加对比度可有效提高图片通透感，减弱灰蒙蒙的感觉。
请添加图片描述

指数型S曲线代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef power_symmetric(x, p):xp = np.power(x, p)xip = np.power(1. - x, p)return xp / (xp + xip)def power_low(x, p, pivot):return pivot * np.power(x / pivot, p)def power_high(x, p, pivot):pivot = 1. - pivotreturn 1. - pivot * np.power((1. - x) / pivot, p)def main():pivot = 0.4x = np.linspace(0, 1, 1000)index_low = x <= pivotindex_high = ~index_low# symmetric power style s curveplt.figure(figsize=(6, 6))for p in [0.2, 0.5, 1, 2, 5]:y = power_symmetric(x, p)plt.plot(x, y, label='power = %0.1f' % p)plt.grid()plt.legend(loc='best')plt.title('symmetric power style s-curve')plt.savefig('symmetric_power_style_s_curve.png', dpi=300)# power style s curvey = x.copy()plt.figure(figsize=(6, 6))for p in [0.2, 0.5, 1, 2, 5]:y[index_low] = power_low(x[index_low], p, pivot)y[index_high] = power_high(x[index_high], p, pivot)plt.plot(x, y, label='power = %0.1f' % p)plt.grid()plt.legend(loc='best')plt.title('power style s-curve, pivot=%0.1f' % pivot)plt.savefig('power_style_s_curve_pivot=%0.1f.png' % pivot, dpi=300)def main_enhance_contrast():pivot = 0.435p = 2image = cv2.imread('gray.jpg')image_adjust = image / 255.index = image_adjust <= pivotimage_adjust[index] = power_low(image_adjust[index], p, pivot)index = ~indeximage_adjust[index] = power_high(image_adjust[index], p, pivot)image_adjust = np.uint8(np.clip(np.round(image_adjust * 255.), 0, 255))image_concat = np.concatenate([image, image_adjust], axis=0)cv2.imwrite('enhance_contrast.png', image_concat)if __name__ == '__main__':main()main_enhance_contrast()

二、基于分段线性函数的S曲线

1. 分段线性函数
公式（分段线性函数）：
$\begin{aligned} y &= \frac{x}{k}, {0<x<=\frac{pivot*k}{k+1}} \\[2ex] y & = k(x-p)+p, {\frac{pivot*k}{k+1} < x <=\frac{pivot*k+1}{k+1}} \\[2ex] y &= \frac{x-1}{k}+1, {\frac{pivot*k+1}{k+1}<x<=1} \end{aligned}$

三条直线的设计原则比较简单，利用点斜式直线公式求解即可：

暗部直线（low-line）：过(0, 0)，斜率为 1/k
中灰部直线（middle-line）：过(pivot, pivot)，斜率为k
亮部直线（high-line）：过(1, 1)，斜率为 1/k

然后根据暗部和中灰部联立，以及中灰部与亮部联立，分别可以求出两个分界点的坐标，也已经在上面公式中了。
请添加图片描述

这个分段线性函数其实也可以用来做对比度调节，只是我们很多时候会希望曲线的变化能圆润一些，不要那么有棱角。

2. 给分段线性函数加上圆润的过渡

方法：在直线交叉的地方使用一个圆弧进行过渡，圆弧与两直线分别相切，相切就代表函数值和一阶导均连续。根据这个条件就可进行相应的圆的方程计算。但需注意实际上我们计算的是一个半圆，所以需要仔细判别半圆方程根号前的正负号。

下面以low-middle的过渡为例进行说明。
此时有三个关键点，依次是：(0,0)，low-middle两直线交点，(pivot, pivot)。
以交点为中心，向两侧端点分别延展一定长度，比例记为perc，可以得到分别位于low-line上的x1，和位于middle-line上的x2，进而可得与x1对应的函数值y1，斜率k1，以及与x2对应的y2，k2。这就是我们计算圆弧所需的参数集合：(x1, y1, k1, x2, y2, k2)

因为low-line和middle-line分别是圆的切线，所以可以过切点分别做两线的垂线，交点就是圆心，进而可以根据圆心与切点之间的距离求出半径，此时圆方程的所有参数就求出来了。

过圆心的两直线方程：
$\begin{aligned} y &= -\frac{x-x_1}{k_1}+y_1 \\[2ex] y &= -\frac{x-x_2}{k_2}+y_2 \end{aligned}$
圆心求解后记为(a, b)，半径记为r，求解得：
$\begin{aligned} a &= \frac{k_2x_1-k_1x_2+k_1k_2(y_1-y_2)}{k_2-k_1} \\[2ex] b &= -\frac{a-x_1}{k_1}+y_1 \\[2ex] r &= \sqrt{(a-x_1)^2+(b-y_1)^2} \end{aligned}$

半圆的方程为：
$\pm \sqrt{r^2 - (x-a)^2}+b$

注：该方法实际可以作为任意两段曲线平滑过渡的通用方案。

该曲线的一些性质：

当k>1时是正S型曲线；当0<k<1时是反S型曲线；当k=1时应当直接使用y=x（注意这里不是退化成y=x，所以需要写if else语句去直接使用y=x，因为当k=1时，圆的方程是无解的）。
旋转支点为(pivot, pivot)。
如果以y=x为轴将曲线放平（也就是顺时针旋转45度），那么两节点之间的曲线凸包是左右对称的。
在x=0和x=1处，曲线的导数是1/k，因为两端点处仍是直线方程形态。

基于分段线性函数的S型曲线代码：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef get_low_line(x, k):return 1 / k * xdef get_high_line(x, k):return 1 / k * (x - 1.) + 1.def get_middle_line(x, k, pivot):return k * (x - pivot) + pivotdef linear_interpolate(x_beg, x_end, perc):return perc * (x_end - x_beg) + x_begdef get_arc_params(x1, y1, k1, x2, y2, k2):a = (k2 * x1 - k1 * x2 + k1 * k2 * (y1 - y2)) / (k2 - k1)b = -(a - x1) / k1 + y1r_square = (a - x1) * (a - x1) + (b - y1) * (b - y1)return a, b, r_squaredef get_low_arc_params(k, pivot, perc):x_border = pivot * k / (k + 1)  # left borderx1 = linear_interpolate(x_border, 0, perc)  # located at low liney1 = get_low_line(x1, k)k1 = 1 / kx2 = linear_interpolate(x_border, pivot, perc)  # located at middle liney2 = get_middle_line(x2, k, pivot)k2 = ka, b, r_square = get_arc_params(x1, y1, k1, x2, y2, k2)return a, b, r_square, x1, x2def get_high_arc_params(k, pivot, perc):x_border = (pivot * k + 1) / (k + 1)  # right borderx1 = linear_interpolate(x_border, pivot, perc)  # located at middle liney1 = get_middle_line(x1, k, pivot)k1 = kx2 = linear_interpolate(x_border, 1., perc)  # located at high liney2 = get_high_line(x2, k)k2 = 1 / ka, b, r_square = get_arc_params(x1, y1, k1, x2, y2, k2)return a, b, r_square, x1, x2def get_arc(x, a, b, r_square, sign):return sign * np.sqrt(r_square - (x - a) * (x - a)) + bdef main_line():pivot = 0.4x = np.linspace(0, 1, 1000)y = x.copy()plt.figure(figsize=(6, 6))for k in [0.2, 0.5, 1, 2, 5]:x_border_left = pivot * k / (k + 1)x_border_right = (pivot * k + 1) / (k + 1)index_low = x <= x_border_leftindex_mid = (x > x_border_left) & (x < x_border_right)index_high = x >= x_border_righty[index_low] = get_low_line(x, k)[index_low]y[index_mid] = get_middle_line(x, k, pivot)[index_mid]y[index_high] = get_high_line(x, k)[index_high]plt.plot(x, y, label='k = %0.1f' % k)plt.grid()plt.legend(loc='best')plt.title('piecewise lines, pivot=%0.1f' % pivot)plt.savefig('piecewise_lines_pivot=%0.1f.png' % pivot, dpi=300)def main_all():pivot = 0.4perc = 0.5x = np.linspace(0, 1, 1000)y = x.copy()plt.figure(figsize=(6, 6))for k in [0.2, 0.5, 1, 2, 5]:if np.abs(k - 1) < 1e-5:y = x.copy()else:a_low, b_low, r_square_low, x_low, x_mid_left = \get_low_arc_params(k, pivot, perc)a_high, b_high, r_square_high, x_mid_right, x_high = \get_high_arc_params(k, pivot, perc)# low lineindex = (x >= 0) & (x <= x_low)y[index] = get_low_line(x, k)[index]# low-middle arcindex = (x > x_low) & (x <= x_mid_left)sign = np.sign(1 - k)y[index] = get_arc(x, a_low, b_low, r_square_low, sign)[index]# middle lineindex = (x > x_mid_left) & (x <= x_mid_right)y[index] = get_middle_line(x, k, pivot)[index]# middle-high arcindex = (x > x_mid_right) & (x <= x_high)sign = np.sign(k - 1)y[index] = get_arc(x, a_high, b_high, r_square_high, sign)[index]# high lineindex = (x > x_high) & (x <= 1)y[index] = get_high_line(x, k)[index]plt.plot(x, y, label='k = %0.1f' % k)plt.grid()plt.legend(loc='best')plt.title('line based piecewise s-curve, pivot=%0.1f, perc=%0.1f' % (pivot, perc))plt.savefig('line_based_piecewise_s_curve_pivot=%0.1f_perc=%0.1f.png' % (pivot, perc), dpi=300)if __name__ == '__main__':main_line()main_all()

三、基于sigmoid类型函数的S曲线

这里以sigmoid为例，具备此类函数性质的其他函数也可以采用类似方案设计，如tanh。

sigmoid函数如下：
$\frac{1}{1+e^{-x}}$
在这里插入图片描述
sigmoid函数不能直接用来做对比度调节，因为它的函数值在左右两侧分别渐进于0和1，而不能直接等于，另外它很难退化为直线形态。

（PS：尽管有时候我们也需要把黑白点拉离(0, 0)和(1, 1)，但那是综合调节的结果，或是曲线这种灵活性很高的功能调节的结果，作为单一小项的对比度来说，不建议耦合此类操作）

如果想要利用好这种天然呈现S形状的函数，就要做一些改造以及方案适配。
首先改造基础形态，增加旋转支点相关的参数：
$y=\frac{1}{1+e^{-k(x-pivot)}}+pivot-0.5$
其导数为：
$\frac{ke^{-k(x-pivot)}}{(1+e^{-k(x-pivot)})^2}$

导数还有个简便的计算方法是：
$\\[2ex] y' = ky(1-y)$
pivot用于调节旋转支点就不用多解释了，k用于调节S形态的强弱。当pivot=0.4，k=8时示例如下：
在这里插入图片描述

接下来我们给曲线增加一个随x变化的校正，让其满足开头所说的S型曲线的几个标准，如下图：请添加图片描述

大致的原理是：采用归一化的一阶导差异作为修正因子，对函数值进行修正。
（PS：下面是一种可用的方案，但不一定很好，肯定还有更好的）

具体步骤是（仅描述左半支，右半支同理）：

将导数公式画出来易知，pivot处导数最大，记为slope_max。
计算0处的一阶导，记为slope0。
计算左半支最大一阶导差异slope0_diff = slope_max - slope0。
计算左半支最大函数值差异y0_diff = 0.0 - y0。
那么左半支任意点的修正量是：
$(\frac{slope\_max - slope}{slope0\_diff })^2 *y0\_diff$

在上图蓝线的基础上，作如下修正即可得到黄线
$y = y + a d j u s t m e n t$

整体效果如下：
请添加图片描述

该曲线的一些性质：

该曲线无法退化成严格的y=x。
k与S形态强弱的对应关系不是很有规律，需要单独设计一个k的变化函数。
旋转支点为(pivot, pivot)。
当pivot离开0.5较远，且k较大时，上述校正方案会出现穿越[0, 1]区间的情况，这是个问题。

基于sigmoid类型函数的S曲线代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef get_sigmoid(x, k, pivot):return 1.0 / (1.0 + np.exp(-k * (x - pivot))) + pivot - 0.5def get_sigmoid_derivative(x, k, pivot):y = get_sigmoid(x, k, pivot) - (pivot - 0.5)return k * y * (1.0 - y)def get_sigmoid_s_curve(x, k, pivot):y = get_sigmoid(x, k, pivot)y0 = get_sigmoid(0.0, k, pivot)y1 = get_sigmoid(1.0, k, pivot)slope = get_sigmoid_derivative(x, k, pivot)slope0 = get_sigmoid_derivative(0.0, k, pivot)slope1 = get_sigmoid_derivative(1.0, k, pivot)slope_max = get_sigmoid_derivative(pivot, k, pivot)y0_diff = 0.0 - y0y1_diff = 1.0 - y1slope0_diff = slope_max - slope0slope1_diff = slope_max - slope1# process low rangeindex = x <= pivotscale = (slope_max - slope) / slope0_diffscale = scale ** 2y[index] = (y + scale * y0_diff)[index]# process high rangeindex = ~indexscale = (slope_max - slope) / slope1_diffscale = scale ** 2y[index] = (y + scale * y1_diff)[index]return ydef main():pivot = 0.4x = np.linspace(0, 1, 1000)plt.figure(figsize=(6, 6))for k in [0.1, 2, 4.1, 8, 16]:y = get_sigmoid_s_curve(x, k, pivot)plt.plot(x, y, label='k = %0.1f' % k)plt.grid()plt.legend(loc='best')plt.title('sigmoid style s-curve, pivot=%0.1f' % pivot)plt.savefig('sigmoid_style_s_curve_pivot=%0.1f.png' % pivot, dpi=300)def main_compare_adjustment():pivot = 0.4k = 8x = np.linspace(0, 1, 1000)plt.figure(figsize=(6, 6))y_before_adjust = get_sigmoid(x, k, pivot)y_after_adjust = get_sigmoid_s_curve(x, k, pivot)plt.plot(x, y_before_adjust, label='before adjust')plt.plot(x, y_after_adjust, label='after adjust')plt.grid()plt.legend(loc='best')plt.title('sigmoid adjustment')plt.savefig('sigmoid_adjustment.png', dpi=300)if __name__ == '__main__':main()main_compare_adjustment()

各种S型曲线设计的特点分析

这里所谓的特点分析只是我自己的一些理解，大家当然是可以有不同看法。

指数型S曲线在两端点处导数值为0，这意味着曲线有比较快的饱和倾向，或者换句话讲，当增强S形态时，两端点处的色彩分辨力会快速下降，一般来说这不是一个好的性质。
基于分段线性函数的S曲线在两端点的分辨力上要好于指数型，但是由于这是分段的，并且其中包含直线成分，尽管曲线处处函数值与一阶导数都连续，但顺滑程度看起来仍然不如其他。
基于sigmoid类型的S曲线尽管有上面提到的诸多问题，但是如果通过限制了参数范围避开这些问题，那么该曲线在端点分辨力上，以及整体顺滑度上都处于一种还不错的状态。