数据结构-AVL树

目录

什么是 AVL 树

ASL 度量查找效率

结构体定义

平衡调整

调整类型

左旋和右旋

右旋

左旋

左、右平衡调整

左平衡调整

右平衡调整

插入数据

模拟建立 AVL 树

什么是 AVL 树

        二叉排序树的形状取决于数据集，当二叉树的高度越小、结构越合理，搜索的性能就越好，时间复杂度 O(log2n)。G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了一种名为 AVL 树的数据结构，它就能很好地解决这个问题。AVL 树具有以下 2 个性质：

  1. 左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过 1；
  2. 左子树和右子树通通都是 AVL 树。

        其中为了度量左右子树的深度之差，我们引入平衡因子 (BF)"的概念。例如下面的二叉搜索树的平衡因子为：

        对于一棵 AVL 树，里面的所有结点的平衡因子只能取值于：-1、0、1。

ASL 度量查找效率

        为了更好地理解 AVL 树，请认真观察下面 2 个二叉搜索树，我们发现第二个二叉搜索树是 AVL 树，树的高度更小，查找的比较次数也更少，效率更高。


        现在计算一下该 AVL 树的 ASL：

ASL(成功)：(1 + 2 × 2 + 3 × 4) ÷ 6 = 17/6
ASL(失败)：4 × 8 ÷ 8 = 4

        和二叉搜索树对比，发现无论是成功还是失败的 ASL，AVL 树的都较小，说明效率更高。

结构体定义

typedef struct BiTNode
{int data;int bf;  //平衡因子struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

平衡调整

调整类型

        由于二叉搜索树的结点是一个一个插入的，在插入时可能会造成结点的平衡因子的绝对值超过 1。造成失衡一共有 4 种情况：RR 型、LL 型、RL 型、LR 型，如图所示：

        虽然有 4 种情况，但是需要遵循的原则是一样的——在尽可能减小高度的前提下，保持二叉搜索树的性质。下面就看一下 4 种情况的调整示意图，不难发现都是遵循这个原则进行调整的。


        需要注意的是，当有多个结点失衡时，需要选择最小失衡子树来调整。

左旋和右旋

右旋

        右旋可以形象地理解为把最上面的结点掰下来，这种操作称之为“右旋”。右旋操作后指向新的根结点，即操作之前的根结点的左结点。

void R_Rotate(BiTree &T)
{ BiTree L;      //L 表示 T 的左子树L = T->lchild;    //L 指向 T 的左子树 T->lchild = L->rchild;      //T 的左子树更改为 T 的左子树的右子树  L->rchild = T;      //T 的左子树的右子树修改为 TT = ptr;      //根结点修改为右旋之前 T 的左子树
}

左旋

        对于 RR 型的调整，可以形象地理解为把最上面的结点掰下来，这种操作称之为“左旋”。左旋操作后指向新的根结点，即操作之前的根结点的右结点。

void L_Rotate(BiTree &T)
{ BiTree R;      //R 表示 T 的右子树R = T->rchild;        //R 指向 T 的右子树  T->rchild = R->lchild;      //T 的右子树更改为 T 的右子树的左子树  R->lchild = T;      //T 的右子树的左子树修改为 TT = R;      //根结点修改为左旋之前 T 的右子树
}

左、右平衡调整

左平衡调整

        这个函数为左平衡旋转，将 RL 型和 LL 型进行判断和操作。需要考虑涉及结点所连接的子树，对每个结点的 BF 都进行修正。

void LeftBalance(BiTree &T)
{ BiTree L;      //L 表示 T 的左子树BiTree Lr;      //Lr 表示 L 的右子树L = T->lchild;      //L 指向 T 的左结点 switch(L->bf)      //根据 T 的左子树的 BF 作相应平衡处理{case 1:          //LL 型，新结点插入在 T 的左结点的左子树{T->bf = L->bf = 0;      //修正 BF 均为 0R_Rotate(T);      //右旋操作break;}case -1:          //RL 型，新结点插入在 T 的左结点的右子树，要做双旋操作{Lr = L->rchild;       //Lr 指向示 L 的右结点switch(Lr->bf)      //修正 T 及其左结点的平衡因子{ case 1:            //Lr 平衡因子为 1{T->bf = -1;L->bf = 0;break;}case 0:            //Lr 平衡因子为 0{T->bf = L->bf = 0;break;}case -1:            //Lr 平衡因子为 -1{T->bf = 0;L->bf = 1;break;}}Lr->bf = 0;      //修正 Lr 平衡因子为 0L_Rotate(T->lchild);       //对 T 的左子树作左旋操作  R_Rotate(T);      //对 T 作右旋操作break;}}
}

右平衡调整

        这个函数为右平衡旋转，将 LR 型和 RR 型进行判断和操作。需要考虑涉及结点所连接的子树，对每个结点的 BF 都进行修正。

void RightBalance(BiTree &T)
{ BiTree R;      //R 表示 T 的右子树BiTree Rl;      //Rl 表示 R 的左子树R = T->rchild;      //R 指向 T 的右结点 switch(R->bf)      //根据 T 的右子树的 BF 作相应平衡处理{case -1:          //RR 型，新结点插入在 T 的右结点的右子树{T->bf = R->bf = 0;      //修正 BF 均为 0L_Rotate(T);      //左旋操作break;}case 1:          //LR 型，新结点插入在 T 的右结点的左子树，要做双旋操作{Rl = R->lchild;       //Rl 指向 R 的左结点switch(Rl->bf)      //修正 T 及其右结点的平衡因子{ case -1:            //Rl 平衡因子为 -1{T->bf = 1;R->bf = 0;break;}case 0:            //Rl 平衡因子为 0{T->bf = R->bf = 0;break;}case 1:            //Rl 平衡因子为 1{T->bf = 0;R->bf = -1;break;}}Rl->bf = 0;      //修正 Rl 平衡因子为 0R_Rotate(T->rchild);       //对 T 的右子树作右旋操作  L_Rotate(T);      //对 T 作左旋操作break;}}
}

插入数据

        要插入一个数据，首先需要判断这个数据是否已存在，若在 AVL 树中不存在要插入的数据，则执行插入操作。函数将通过递归找到合适的插入位置，如果在插入时出现失去平衡的情况，要进行对应的平衡旋转处理。

bool InsertAVL(BiTree &T, int e, bool &taller) {// taller 表示树的高度是否发生变化if (T == NULL) { // 若传入的 T 为空树，将创建根结点T = new BiTNode;T->data = e;T->bf = 0;T->lchild = T->rchild = NULL;taller = true; // 表示树的高度是否发生变化} else {if (e == T->data) { // 和 e 有相同数据的结点已存在taller = false;return false;}if (e < T->data) { // 进入左子树搜索插入位置if (InsertAVL(T->lchild, e, taller) == false) { // 结点已存在return false;}if (taller == true) { // 数据插入 T 的左子树中并且高度发生变化switch (T->bf) { // 检查 T 的 BF 判断是否调整case 1: // 原本左子树比右子树高，需要进行左平衡处理LeftBalance(T); // 左平衡处理taller = false;break;case 0: // 原本左、右子树等高，仍保持平衡，修正 BFT->bf = 1;taller = true;break;case -1: // 原本右子树比左子树高，仍保持平衡，修正 BFT->bf = 0;taller = false;break;}}} else { // 进入右子树搜索插入位置if (InsertAVL(T->rchild, e, taller) == false) { // 结点已存在return false;}if (taller == true) { // 数据插入 T 的左子树中并且高度发生变化switch (T->bf) { // 检查 T 的 BF 判断是否调整case 1: // 原本右子树比左子树高，仍保持平衡，修正 BFT->bf = 0;taller = false;break;case 0: // 原本左、右子树等高，仍保持平衡，修正 BFT->bf = -1;taller = true;break;case -1: // 原本右子树比左子树高，需要进行右平衡处理RightBalance(T);taller = false;break;}}}}return true;
}

模拟建立 AVL 树

        按照整数序列 {4,5,7,2,1,3,6} 依次插入的顺序构造相应平衡二叉树。
        首先结点 4 加入 AVL 树成为根结点。

        结点 5 加入 AVL 树。

        结点 7 加入 AVL 树，此时结点 4 的平衡因子为 -2，需要进行调整。


        进行 RR 型调整。

        结点 2 加入 AVL 树。

        结点 1 加入 AVL 树，此时结点 4 的平衡因子为 2，需要进行调整。

        进行 LL 型调整。

        结点 3 加入 AVL 树，此时结点 5 的平衡因子为 2，需要进行调整。

        进行 LR 型调整。

        结点 6 加入 AVL 树，此时结点 5 的平衡因子为 -2，需要进行调整。

        进行 RL 型调整。

        到此为止，AVL 树建立完毕。完整的代码实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// AVL树的节点结构
typedef struct BiTNode {int data;int bf; // 平衡因子struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;// 右旋转
void R_Rotate(BiTree *P) {BiTree L;L = (*P)->lchild;(*P)->lchild = L->rchild;L->rchild = (*P);*P = L;
}// 左旋转
void L_Rotate(BiTree *P) {BiTree R;R = (*P)->rchild;(*P)->rchild = R->lchild;R->lchild = (*P);*P = R;
}// 左平衡旋转处理
void LeftBalance(BiTree *T) {BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild;switch (L->bf) {case 1:(*T)->bf = L->bf = 0;R_Rotate(T);break;case -1:Lr = L->rchild;switch (Lr->bf) {case 1:(*T)->bf = -1;L->bf = 0;break;case 0:(*T)->bf = L->bf = 0;break;case -1:(*T)->bf = 0;L->bf = 1;break;}Lr->bf = 0;L_Rotate(&(*T)->lchild);R_Rotate(T);}
}// 右平衡旋转处理
void RightBalance(BiTree *T) {BiTree R, Rl;R = (*T)->rchild;switch (R->bf) {case -1:(*T)->bf = R->bf = 0;L_Rotate(T);break;case 1:Rl = R->lchild;switch (Rl->bf) {case 1:(*T)->bf = 0;R->bf = -1;break;case 0:(*T)->bf = R->bf = 0;break;case -1:(*T)->bf = 1;R->bf = 0;break;}Rl->bf = 0;R_Rotate(&(*T)->rchild);L_Rotate(T);}
}// 插入节点到AVL树中
int InsertAVL(BiTree *T, int key, int *taller) {if (!*T) {*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));(*T)->data = key;(*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL;(*T)->bf = 0;*taller = 1;} else {if (key == (*T)->data) { // 树中已存在相同的节点*taller = 0;return 0;}if (key < (*T)->data) { // 插入到左子树if (!InsertAVL(&((*T)->lchild), key, taller))return 0;if (*taller) { // 高度增加了switch ((*T)->bf) {case 1:LeftBalance(T);*taller = 0;break;case 0:(*T)->bf = 1;*taller = 1;break;case -1:(*T)->bf = 0;*taller = 0;break;}}} else { // 插入到右子树if (!InsertAVL(&((*T)->rchild), key, taller))return 0;if (*taller) { // 高度增加了switch ((*T)->bf) {case 1:(*T)->bf = 0;*taller = 0;break;case 0:(*T)->bf = -1;*taller = 1;break;case -1:RightBalance(T);*taller = 0;break;}}}}return 1;
}int main() {int count;      // 数据元素的个数BiTree T = NULL;int taller, flag; // taller 反映 T 的高度是否变化int a_num;      // 暂存输入数据scanf("%d", &count);for (int i = 0; i < count; i++) {scanf("%d", &a_num);flag = InsertAVL(&T, a_num, &taller); // 向 AVL 树中插入 a_num}return 0;
}

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