3 Projective Geometry and Transformations of 3D

这章主要讲的是3D的射影几何，与2D的射影几何差不多。主要区别是：

1. 3D射影几何对偶的是点和平面，直线是自对偶的。
2. 3D空间中直线有4个自由度，这一现象并不是那么容易直接得出。一种方法是把直线用正交平面两个交点表示。
   
   

   文章目录

   • 3 Projective Geometry and Transformations of 3D
   • • 3.1 Points and projective transformations
     • 3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics
     • • 3.2.1 Planes
       • 3.2.2 Lines
       • 3.2.3 Quadrics and dual quadrics
       • 3.2.4 Classification of quadrics
     • 3.4 The hierarchy of transformations
     • 3.5 The plane at infinity
     • 3.6 The absolute conic
     • 3.7 The absolute dual quadric

3.1 Points and projective transformations

三维空间的齐次坐标就是$x_1,x_2,x_3,x_4$，比二维空间多一个。$x_4$一般是1，如果是0那就代表无穷远的点。

三维空间投影矩阵$H$是$4\times 4$的，有15个自由度。

3.2 Representing and transforming planes, lines and quadrics

三维投影空间中点和面是对偶的。也就是说它们可以互相交换运算中的位置。

3.2.1 Planes

三维空间面就是：
$${\pi }_{1}X+{\pi }_{2}Y+{\pi }_{3}Z+{\pi }_4=0$$

${\pi }_1，{\pi }_2，{\pi }_3$就是平面的法向量。

相交关系

1. 三点确定一个平面
2. 两个相交平面确定一个线
3. 三个相交平面确定一个点

下面来讨论这几个关系的代数表述。

三个点确定一平面 我们假设点是$X_i$, 平面式$\pi$
确定平面需要解以下方程：
$$\left[\begin{array}{c}{X}_1^T\\ X_2^T\\ X_3^T\end{array}\right]\pi =0$$
书中p67 3.4式给了一个解析解。

三个平面确定一个点 把上述方程点和面的位置换一下就行。
$$\left[\begin{array}{c}{\pi }_1^T\\ {\pi }_2^T\\ {\pi }_3^T\end{array}\right]X=0$$

3.2.2 Lines

线段在三维空间中表示比较尴尬，因为点和面是对偶的，如果要表示线，那就需要5维向量。本节介绍了3种方法，我们掌握一种就可以了。

零空间理论 我们假设$A,B$是两个点，经过这两个点的直线除了叉乘，还可以表示为：
$$W=\left[\begin{array}{c}{A}^T\\ B^T\end{array}\right]$$

那么把$A,B$换成平面，上式就是两个平面相交形成的点。

3.2.3 Quadrics and dual quadrics

三维空间中的二次曲面定义如下：
$$X^{T}QX=0$$

Q是一个$4\times 4$的对称矩阵，主要有以下性质：

1. Q有9个自由度
2. 8个点确定一个二次曲面
3. Q如果是奇异矩阵，那么二次曲面退化了
4. 二次曲面可以确定一个点和一个极平面$\pi =QX$
5. 平面$\pi$和Q的交线就是圆锥
6. 如果点变换是$X^{\prime }=HX$，那么Q上的点就会被变换成$Q^{\prime }=H^{-T}Q{H}^{-1}$
7. $Q$的对偶定义为$Q^{\ast }$，是由与Q相切的面组成的

3.2.4 Classification of quadrics

3.4 The hierarchy of transformations

1. 投影变换15个自由度，不变量是相交的平面、垂直的平面
2. 仿射变换12个自由度，不变量是平行的平面、体积之间的比例、无穷远处的平面.
3. 相似变换7个自由度，不变量是无穷远处的圆锥
4. 刚体变换6个自由度，不变量是体积
   

3.5 The plane at infinity

我们记得在二维投影空间中有一个无穷远的直线$l_{\infty }$，那么类似地，在三维投影空间就有一个无穷远平面${\pi }_{\infty }$，在该平面上还有一个绝对圆锥${\Omega }_{\infty }$

1. ${\pi }_{\infty }$是两个平行平面的交点
2. 平行线的交点在${\pi }_{\infty }$上，与平面平行的直线也在${\pi }_{\infty }$上

结论3.7 无穷远平面在投影变换下保持不变当且仅当该变换是仿射变换。

3.6 The absolute conic

绝对圆锥${\Omega }_{\infty }$是${\pi }_{\infty }=(0,0,0,1)$ 上的圆锥，满足：
$$\begin{gathered} X_1^2+X_2^2+X_3^2=0 \\ {X}_4^2=0 \end{gathered}$$

写成圆锥表达式就是：
$$(X_1,X_2,X_3)I(X_1,X_2,X_3{)}^T=0$$

结论3.9 绝对圆锥在投影变换下保持不变，当且仅当该变换是相似变换。

所有的圆都和绝对圆锥相交于两点，所有的球都和绝对圆椎相交于${\pi }_{\infty }$

度量性质 当我们知道了绝对圆锥，我们就可以恢复度量性质，比如直线之间的夹角：

$$\cos \theta =\frac{d_1^T{\Omega }_{\infty }{d}_2}{\sqrt{(d_1^T{\Omega }_{\infty }{d}_2)(d_1^T{\Omega }_{\infty }{d}_2)}}$$

3.7 The absolute dual quadric

就是由与绝对圆锥相切的平面组成的圆锥，记为$Q_{\infty }^{\ast }$，对偶圆锥也在相似变换下保持不变。${\pi }_{\infty }$是$Q_{\infty }^{\ast }$的零向量。