传染病模型SIR及其变体(python版本)

文章目录

  • 传染病模型及其变体
    • 1. SI模型
      • 1.1代码
    • 2. SIS模型
      • 2.1 代码
    • 3. 基本再生数 basic reproductive number
    • 4. SIR模型
      • 4.1 代码
    • 5. SEIR模型
      • 5.1 代码
    • 6. SEIJR模型
      • 6.1 代码
    • 7. SEIJRD模型
      • 7.1 代码

传染病模型及其变体

1. SI模型

在该模型里面,群体中只有两种人:易感者和感染者。
感染者每天会感染一定的数量的易感者。
S表示易感者(尚未感染但是容易被感染的人) 的数量
I表示感染者(已经感染的人)的数量
N表示人口总数
r表示一个感染者平均每天感染易感者的人数
那么每天易感者和感染者的数量变化为
d S = − r S I N d I = r S I N \begin{align} dS &= \frac{-rSI}{N} \\ dI &= \frac{rSI}{N} \end{align} dSdI=NrSI=NrSI

1.1代码

import numpy as np   # 科学计算工具包
import matplotlib.pyplot as plt  # 画图工具包plt.rcParams["font.family"] = 'Arial Unicode MS'  # 用来正常显示中文
# 定义SI函数——根据SI模型计算每天新增的易感人数和感染人数,返回累计人数
def SI(si,dt):S,I = si          # 每天初始SI的数值dS = -(r*I*S)/N   # 易感者微分方程dI = r*I*S/N      # 感染者微分方程S = 0 if S+dS*dt<=0 else S+dS*dt      # 当天易感者人数    I = N if I+dI*dt>=N else I+dI*dt      # 当天感染者人数return [S, I]def calculate(func,si,days):  dt = 1t = np.arange(0,days,dt) # 设置时间步res = []for itm in t:si=func(si,dt)      # 运行SI模型函数res.append(si)      # 存储每天人数结果return np.array(res)# 画图函数
def plot_graph(np_res): plt.figure(figsize=(10,6),dpi=300)plt.plot(np_res[:,0])plt.plot(np_res[:,1])plt.title("SI模型")plt.xlabel("天数")plt.ylabel("人数")plt.legend(['易感者','感染者'])plt.show()N = 10000
I = 1
r = 1
days = 50
si= [N-I,    # 易感人数I]    # 感染人数result = calculate(SI,si,days)
plot_graph(result)

在这里插入图片描述

2. SIS模型

在该模型里面,群体中依然只有两种人:易感者和感染者。

感染者每天会感染一定的数量的易感者,同时每天会有一定数量的感染者康复,但是他们康复之后依然有可能被感染。

S S S表示易感者(尚未感染但是容易被感染的人) 的数量

I I I表示感染者(已经感染的人)的数量

N N N表示人口总数

r r r表示一个感染者平均每天感染易感者的人数

μ \mu μ 表示感染者每天康复的比例

那么每天易感者和感染者的数量变化为

d S = − r S I N + μ I d I = r S I N − μ I \begin{align} dS &= \frac{-rSI}{N} + \mu I\\ dI &= \frac{rSI}{N} - \mu I \\ \end{align} dSdI=NrSI+μI=NrSIμI

2.1 代码

# 定义SIS函数——根据SIS模型计算每天新增的易感人数和感染人数,返回累计人数
def SIS(sis,dt):S,I = sis          # 每天初始SI的数值dS = -(r*I*S)/N + u*I   # 易感者微分方程dI = r*I*S/N - u*I     # 感染者微分方程S = 0 if S+dS*dt<=0 else S+dS*dt    # 当天易感者人数I = N if I+dI*dt>=N else I+dI*dt    # 当天感染者人数return [S, I]def calculate(func,sis,days):  dt = 1t = np.arange(0,days,dt) # 设置时间步res=[]for itm in t:sis=func(sis,dt)      # 运行SI模型函数res.append(sis)      # 存储每天人数结果return np.array(res)# 画图函数
def plot_graph(np_res): plt.figure(figsize=(10,6),dpi=300)plt.plot(np_res[:,0])plt.plot(np_res[:,1])plt.title("SIS模型")plt.xlabel("天数")plt.ylabel("人数")plt.legend(['易感者','感染者'])plt.text(10,4500,'N=%d \nI=%d \nr=%2.1f \nu=%2.1f' % (N,I,r,u), bbox={'facecolor': 'red', 'alpha': 0.4, 'pad': 8})final = [round(x) for x in result[-1]]  # 取整表示plt.text(90,final[0],final[0])plt.text(93,final[1],final[1])plt.show()# 赋值绘图
N = 10000
I = 1
r = 0.6
u = 0.2
days = 100sis= [N-I,    # 易感人数I]    # 感染人数result = calculate(SIS,sis,days)
plot_graph(result)
print(result[-1])

在这里插入图片描述
可以看出,在SIS模型中,并非所有的人都会被感染,最终感染人数为:

I = N ( 1 − u r ) I = N(1-\frac{u}{r}) I=N(1ru)

3. 基本再生数 basic reproductive number

这里,从SIS模型中引出了一个概念,就是基本再生数,其定义为:

R

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