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单源最短路
图论知识汇总

LeetCode100276. 最短路径中的边

给你一个 n 个节点的无向带权图，节点编号为 0 到 n - 1 。图中总共有 m 条边，用二维数组 edges 表示，其中 edges[i] = [ai, bi, wi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条边权为 wi 的边。

对于节点 0 为出发点，节点 n - 1 为结束点的所有最短路，你需要返回一个长度为 m 的 boolean 数组 answer ，如果 edges[i] 至少 在其中一条最短路上，那么 answer[i] 为 true ，否则 answer[i] 为 false 。
请你返回数组 answer 。
注意，图可能不连通。
示例 1：

输入：n = 6, edges = [[0,1,4],[0,2,1],[1,3,2],[1,4,3],[1,5,1],[2,3,1],[3,5,3],[4,5,2]]
输出：[true,true,true,false,true,true,true,false]
解释：
以下为节点 0 出发到达节点 5 的 所有 最短路：

路径 0 -> 1 -> 5 ：边权和为 4 + 1 = 5 。
路径 0 -> 2 -> 3 -> 5 ：边权和为 1 + 1 + 3 = 5 。
路径 0 -> 2 -> 3 -> 1 -> 5 ：边权和为 1 + 1 + 2 + 1 = 5 。
示例 2：

输入：n = 4, edges = [[2,0,1],[0,1,1],[0,3,4],[3,2,2]]

输出：[true,false,false,true]

解释：

只有一条从节点 0 出发到达节点 3 的最短路 0 -> 2 -> 3 ，边权和为 1 + 2 = 3 。

提示：

2 <= n <= 5 * 10⁴
m == edges.length
1 <= m <= min(5 * 10⁴, n * (n - 1) / 2)
0 <= ai, bi < n
ai != bi
1 <= wi <= 10⁵
图中没有重边。

单源最短路

准备修改 堆优化迪氏定理。优化过程中，发现直接使用 迪氏定理就可以了。浪费了20分钟。如果边{n1,n2,w} 是最短路径的边，则一定是以下情况之一：
$$0\to n1\to n2\to (n-1)$$
$$0\to n2\to n1\to (n-1)$$
计算这两条路径的最短路，就可以了。
提前计算好：0到各点的最短路径，(n-1)到各点的最短路。

时间复杂度： O(mlogm)+O(m) m是边数。

代码

class CNeiBo
{
public:	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) {vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext){vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount);auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c){if ((r < 0) || (r >= rCount)){return;}if ((c < 0) || (c >= cCount)){return;}if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c)){vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c);}};for (int r = 0; r < rCount; r++){for (int c = 0; c < cCount; c++){Move(r, c, r + 1, c);Move(r, c, r - 1, c);Move(r, c, r, c + 1);Move(r, c, r, c - 1);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat){vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++){for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++){if (neiBoMat[i][j]){neiBo[i].emplace_back(j);neiBo[j].emplace_back(i);}}}return neiBo;}
};typedef pair<long long, int> PAIRLLI;
class  CHeapDis
{
public:CHeapDis(int n,long long llEmpty = LLONG_MAX/10):m_llEmpty(llEmpty){m_vDis.assign(n, m_llEmpty);}void Cal(int start, const vector<vector<pair<int, int>>>& vNeiB){std::priority_queue<PAIRLLI, vector<PAIRLLI>, greater<PAIRLLI>> minHeap;minHeap.emplace(0, start);while (minHeap.size()){const long long llDist = minHeap.top().first;const int iCur = minHeap.top().second;minHeap.pop();if (m_llEmpty != m_vDis[iCur]){continue;}m_vDis[iCur] = llDist;for (const auto& it : vNeiB[iCur]){minHeap.emplace(llDist + it.second, it.first);}}}vector<long long> m_vDis;const long long m_llEmpty;
};class Solution {
public:vector<bool> findAnswer(int n, vector<vector<int>>& edges) {auto neiBo = CNeiBo::Three(n, edges, false);CHeapDis dis1(n),dis2(n);dis1.Cal(0, neiBo);dis2.Cal(n - 1, neiBo);const long long llMinDis = dis1.m_vDis[n - 1];vector<bool> ret;for (const auto& v : edges) {bool b1 =  ( llMinDis ==(v[2] + dis1.m_vDis[v[0]] + dis2.m_vDis[v[1]]));bool b2 = (llMinDis == (v[2] + dis2.m_vDis[v[0]] + dis1.m_vDis[v[1]]));ret.emplace_back(b1 || b2);}return ret;}
};

扩展阅读

视频课程

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。