5 Algorithm Evaluation and Error Analysis

本章主要讲述对算法的验证和误差分析。

概述了两种计算这种不确定性（协方差）的方法。第一个基于线性近似值，涉及串联各种雅各布表达式，第二个是更容易实施蒙特卡洛方法。

5.1 Bounds on performance

一旦开发出一种算法来估计某种类型的转换，就该测试其性能了。 这可以通过对真实或合成数据进行测试来完成。 在本节中，将对合成数据进行测试。

我们先重申一些在前面章节使用到的符号约定：

• $x$之类的表示测量的图像点。
• 估计值由hat表示，例如$\hat{x}$或$\hat{H}$。
• 真实值由bar表示，例如$\bar{x}$或$\bar{H}$。

5.1.1 Error in one image

首先再来明确一下${\hat{x}}^{\prime }$的定义，$x\leftrightarrow x^{\prime }$是一对有噪声的对应点，所以从$x\leftrightarrow x^{\prime }$估计出的$H$其实不满足$x^{\prime }=Hx$，总是含有误差的。那么我们可以记${\hat{x}}^{\prime }=Hx$，那么$\hat{x}$就和$x$是完美匹配的，对$x^{\prime }$也可以找出这么一对完美匹配的点。那么在一张图上的误差就是：

$${ϵ}_{res}=(\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^{n}d(x_i^{\prime },{\widehat{x_i}}^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

5.1.2 Error in both images

两张图的误差就是：

$${ϵ}_{res}=\frac{1}{\sqrt{4n}}(\sum _{i=1}^{n}d(x_i,\widehat{x_i}{)}^2+\sum _{i=1}^{n}d(x_i^{\prime },{\widehat{x_i}}^{\prime }{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

最大后验概率误差的期望（几何误差）

最小化几何误差等于求最大后验概率，既然从概率角度考虑，那么我们就求误差的期望。

书中给出的结论是：在N维空间中有协方差为$N\sigma$的高斯噪声，我们要求d个自由度的投影变换，那么有如下公式：

1. $x$到$\hat{x}$的误差是$\sigma (1-d/N{)}^{1/2}$
2. $x$到$\bar{x}$的误差是$\sigma (1-d/N{)}^{1/2}$，$\bar{x}$是真实值ground truth，是没有噪声的点

5.2 Covariance of the estimated transformation $H$的协方差

$H$的协方差主要是来计算方差的，方差衡量$H$本身有多准确，$H$有9个变量，那么它的协方差矩阵就是$9\times 9$

那么一张图上的这个协方差矩阵怎么算，书中给出了如下公式：

$${\Sigma }_h=(J_f^T{\Sigma }_x{J}_f)$$

其中，${\Sigma }_x$是噪声，也就是高斯分布的协方差矩阵，$J_f$是雅可比矩阵，可以根据对应点用p146 5.11式算出。

两张图上的协方差可以用p147 5.2.5节的公式计算。

5.3 Monte Carlo estimation of covariance

先找若干对匹配点，算出一个$H$，然后再人为加上噪声，再计算一个$H^{\prime }$，这样就可以计算协方差矩阵，进而计算方差。